Question

【题目】某集团公司为了获得更大的收益，决定以后每年投入一笔资金用于广告促销．经过市场调查，每年投入广告费t百万元，可增加销售额约（2t+ ﹣ ）百万元（t≥0）．
（1）若公司当年新增收益不少于1.5百万元，求每年投放广告费至少多少百万元？
（2）现公司准备投入6百万元分别用于当年广告费和新产品开发，经预测，每投入新产品开发费x百万元，可增加销售额约（ +3x+ ）百万元，问如何分配这笔资金，使该公司获得新增收益最大？（新增收益=新增销售额﹣投入）

Answer 1

【答案】
（1）解：设投入t（t百万元）的广告费后增加的收益为f（t）（百万元），

则有f（t）=（﹣t2+5t）﹣t=﹣t2+4t=﹣（t﹣2）2+4（0＜t≤3），

所以当t=2百万元时，f（t）取得最大值4百万元．

即投入2百万元时的广告费时，该公司由此获得的收益最大

（2）解：设投入新产品开发费x百万元（0≤x≤6），则用于当年广告费为（6﹣x）（百万元），

则获得新增收益为g（x）= +3x+ +2（6﹣x）+ ﹣ ﹣6= +x+

=﹣[ +（8﹣x）]+ + = ，

当且仅当 =8﹣x，即x﹣4时，g（x）有最大值 ．

即将4百万元用于新产品开发，2百万元用于广告费，该公司由此获得的收益最大

【解析】（1）设投入t（t百万元）的广告费后增加的收益为f（t）（百万元），则有f（t）=（﹣t2+5t）﹣t=﹣t2+4t=﹣（t﹣2）2+4（0＜t≤3），由二次函数法求得最大值．（2）根据题意，投入新产品开发费x百万元（0≤x≤6），则用于当年广告费为（6﹣x）（百万元），则获得新增收益为g（x）= +3x+ +2（6﹣x）+ ﹣ ﹣6= +x+ ，利用基本不等式，即可得出结论．
【考点精析】利用基本不等式在最值问题中的应用对题目进行判断即可得到答案，需要熟知用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”．