Question

8．在△ABC中，a，b，c分别为角A、B、C的对边，4sin²$\frac{A+C}{2}$-cos2B=$\frac{31}{9}$．
（1）求cosB；
（2）若AB=2，点D是线段AC中点，且BD=$\frac{\sqrt{17}}{2}$，若角B大于60°，求△DBC的面积．

Answer 1

分析 （1）利用4sin²$\frac{A+C}{2}$-cos2B=$\frac{31}{9}$，化简求cosB；
（2）确定cosB=$\frac{1}{3}$，设BC=a，AD=DC=x，则AC=2x，△ABC中，由余弦定理可得4x²=4+a²-$\frac{4}{3}$x①，△ABD和△DBC中，cos∠ADB=-cos∠CDB，可得4x²-2a²=-9②，求出AC，即可求△DBC的面积．

解答 解：（1）∵4sin²$\frac{A+C}{2}$-cos2B=$\frac{31}{9}$，
∴9cos²B-9cosB+2=0，
∴cosB=$\frac{1}{3}$或cosB=$\frac{2}{3}$；
（2）∵角B大于60°，∴cosB=$\frac{1}{3}$
设BC=a，AD=DC=x，则AC=2x，
△ABC中，由余弦定理可得4x²=4+a²-$\frac{4}{3}$a①
△ABD和△DBC中，由余弦定理可得cos∠ADB=$\frac{\frac{17}{4}+{x}^{2}-4}{\sqrt{17}x}$，cos∠CDB=$\frac{\frac{17}{4}+{x}^{2}-{a}^{2}}{\sqrt{17}x}$，
∵∠ADB+∠BDC=180°，
∴cos∠ADB=-cos∠CDB，
∴$\frac{\frac{17}{4}+{x}^{2}-4}{\sqrt{17}x}$=-$\frac{\frac{17}{4}+{x}^{2}-{a}^{2}}{\sqrt{17}x}$，
∴4x²-2a²=-9②，
由①②可得a=3，x=$\frac{3}{2}$，
∴AC=3，
∴S_△DBC=$\frac{1}{2}$S_△ABC=$\frac{1}{4}×2×3×\frac{2\sqrt{2}}{3}$=$\sqrt{2}$．

点评 本题考查二倍角公式的运用，考查余弦定理，考查三角形面积的计算，属于中档题．