【题目】已知函数f(x)=x2+ax﹣lnx(a∈R,a为常数)
(1)当a=﹣1时,若方程f(x)= 有实根,求b的最小值;
(2)设F(x)=f(x)e﹣x , 若F(x)在区间(0,1]上是单调函数,求a的取值范围.
【答案】
(1)解:当a=﹣1时,f(x)=x2+x﹣lnx,
f′(x)=2x﹣1﹣ = .
当x∈(0,1)时,f′(x)<0,f(x)为减函数;当x∈(1,+∞)时,f′(x)>0,f(x)为增函数.
∴f(x)≥f(1)=0.
由f(x)= ,得b=xf(x),
又x>0,∴b≥0.
即b的最小值为0
(2)解:F(x)=f(x)e﹣x,
F′(x)= .
设h(x)= .
则h′(x)=﹣2x+ ,可知h′(x)在(0,1]上为减函数.
从而h′(x)≥h′(1)=2﹣a.
①当2﹣a≥0,即a≤2时,h′(x)≥0,h(x)在区间(0,1]上为增函数,
∵h(1)=0,∴h(x)≤0在区间(0,1]上恒成立,即F′(x)≤0在区间(0,1]上恒成立.
∴F(x)在区间(0,1]上是减函数,故a≤2满足题意;
②当2﹣a<0,即a>2时,设函数h′(x)的唯一零点为x0,则h(x)在(0,x0)上单调递增,在(x0,1)上单调递减.
又∵h(1)=0,∴h(x0)>0.
∴F(x)在(x0,1)上单调递增,
∵h(e﹣a)<0,∴F(x)在(0,e﹣a)上递减,这与F(x)在区间(0,1]上是单调函数矛盾.
∴a>2不合题意.
综合①②得:a≤2
【解析】(1)把a=﹣1代入函数解析式,求导得到导函数的零点,求得原函数的最值,把f(x)= 转化为b=xf(x),则b的最小值可求;(2)求出F′(x)= .设h(x)= ,可得h′(x)≥2﹣a.然后分a≤2和a>2研究F(x)在区间(0,1]上是否为单调函数,从而求得a的取值范围.
【考点精析】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和函数的最大(小)值与导数的相关知识点,需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系: 在某个区间内,(1)如果,那么函数在这个区间单调递增;(2)如果,那么函数在这个区间单调递减;求函数在上的最大值与最小值的步骤:(1)求函数在内的极值;(2)将函数的各极值与端点处的函数值,比较,其中最大的是一个最大值,最小的是最小值才能正确解答此题.
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【题目】已知双曲线的离心率为2,分别是双曲线的左、右焦点,点,,点为线段上的动点,当取得最小值和最大值时,的面积分别为,则____________.
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【题目】函数f(x)=(x﹣2)(ax+b)为偶函数,且在(0,+∞)单调递增,则f(2﹣x)>0的解集为( )
A.{x|x>2或x<﹣2}
B.{x|﹣2<x<2}
C.{x|x<0或x>4}
D.{x|0<x<4}
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【题目】已知函数f(x)= sin(2x+ )﹣cos2x+ .
(Ⅰ)求函数f(x)在[0,π]上的单调递增区间;
(Ⅱ)在△ABC中,a、b、c分别为角A、B、C的对边,f(A)= ,a=3,求△ABC面积的最大值.
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【题目】已知是直线,是平面,给出下列命题:①若,则;②若,则;③若内不共线的三点到的距离都相等,则;④若,且,则;⑤若为异面直线,,则。则其中正确的命题是_______.(把你认为正确的命题序号都填上)
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【题目】已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|≤ ),x=﹣ 为f(x)的零点,x= 为y=f(x)图象的对称轴,且f(x)在( , )上单调,则ω的最大值为( )
A.11
B.9
C.7
D.5
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【题目】下列命题中正确命题的个数是( ) ①对于命题p:x∈R,使得x2+x+1<0,则¬p:x∈R,均有x2+x+1>0;
②命题“已知x,y∈R,若x+y≠3,则x≠2或y≠1”是真命题;
③回归直线的斜率的估计值为1.23,样本点的中心为(4,5),则回归直线方程为 =1.23x+0.08;
④m=3是直线(m+3)x+my﹣2=0与直线mx﹣6y+5=0互相垂直的充要条件.
A.1
B.3
C.2
D.4
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