Question

已知双同线的两个焦点为的曲线C上．

(Ⅰ)求双曲线C的方程；

(Ⅱ)记O为坐标原点，过点Q(0，2)的直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F，若△OEF的面积为求直线l的方程

Answer 1

答案：
解析：

(Ⅰ)解法1：依题意，由a2＋b2＝4，得双曲线方程为(0＜a2＜4)， 　　将点(3，)代入上式，得．解得a2＝18(舍去)或a2＝2， 　　故所求双曲线方程为 　　解法2：依题意得，双曲线的半焦距c＝2． 　　2a＝|PF1|－|PF2|＝ 　　∴a2＝2，b2＝c2－a2＝2． 　　∴双曲线C的方程为 　　(Ⅱ)解法1：依题意，可设直线l的方程为y＝kx＋2，代入双曲线C的方程并整理， 　　得(1－k2)x2－4kx－6＝0． 　　∵直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F， 　　∴ 　　∴k∈(－)∪(1，)． 　　设E(x1，y1)，F(x2，y2)，则由①式得x1＋x2＝于是 　　|EF|＝ 　　＝ 　　而原点O到直线l的距离d＝， 　　∴SΔOEF＝ 　　若SΔOEF＝，即解得k＝±， 　　满足②．故满足条件的直线l有两条，其方程分别为y＝和 　　解法2：依题意，可设直线l的方程为y＝kx＋2，代入双曲线C的方程并整理， 　　得(1－k2)x2－4kx－6＝0．　　① 　　∵直线l与比曲线C相交于不同的两点E、F， 　　∴ 　　∴k∈(－)∪(1，)．　　② 　　设E(x1，y1)，F(x2，y2)，则由①式得 　　|x1－x2|＝．　　③ 　　当E、F在同一支上时(如图1所示)， 　　SΔOEF＝|SΔOQF－SΔOQE|＝； 　　当E、F在不同支上时(如图2所示)， 　　SΔOEF＝SΔOQF＋SΔOQE＝ 　　综上得SΔOEF＝，于是 　　由|OQ|＝2及③式，得SΔOEF＝． 　　若SΔOEF＝2，即，解得k＝±，满足②． 　　故满足条件的直线l有两条，基方程分别为y＝和y＝ 　　本小题主要考查双曲线的定义、标准方程、直线和双曲线位置关系等平面解析几何的基础知识，考查待写系数法、不等式的解法以及综合运用数学知识进行推理运算的能力．(满分13分)