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16.已知数列{an},a1=1.以后各项由an=an-1+$\frac{1}{n(n-1)}$(n≥2)给出.
(1)写出数列{an}的前5项;
(2)求数列{an}的通项公式.

分析 (1)由a1=1及递推公式an=an-1+$\frac{1}{n(n-1)}$写出前5项即可;
(2)由an=an-1+$\frac{1}{n(n-1)}$可得an-an-1=$\frac{1}{n(n-1)}$=$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$,从而解得.

解答 解:(1)a1=1,
a2=a1+$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$,
a3=a2+$\frac{1}{6}$=$\frac{5}{3}$,
a4=a3+$\frac{1}{12}$=$\frac{7}{4}$,
a5=a4+$\frac{1}{20}$=$\frac{9}{5}$;
(2)∵an=an-1+$\frac{1}{n(n-1)}$,
∴a2-a1=1-$\frac{1}{2}$,
a3-a2=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$,
a4-a3=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$,
…,
an-an-1=$\frac{1}{n(n-1)}$=$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$,
故an-a1=1-$\frac{1}{2}$+($\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$)+($\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$)+…+($\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$)
=1-$\frac{1}{n}$,
故an=2-$\frac{1}{n}$=$\frac{2n-1}{n}$.

点评 本题考查了数列的递推公式的应用及裂项求和法的应用.

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