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【题目】我国南北朝时间著名数学家祖暅提出了祖暅原理:“幂势既同,则积不容异”.意思是:夹在两平行平面间的两个几何体,被平行于这两个平行平面的任何平面所载,若截得的两个截面面积总相等,则这两个几何体的体积相等.为计算球的体积,构造一个底面半径和高都与球半径相等的圆柱,然后再圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点,圆柱上底面为底面的圆锥,运用祖暅原理可证明此几何体与半球体积相等(任何一个平面所载的两个截面面积都相等).将椭圆 轴旋转一周后得一橄榄状的几何体,类比上述方法,运用祖暅原理可求得其体积等于( )

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】分析:首先类比球的体积的求解方法构造出几何体,然后利用祖暅原理求解该几何体的体积即可.

详解:如图所示椭圆的长半轴为4,短半轴为3.

现构造一个底面半径为3,高为4的圆柱

然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点,

圆柱上底面为底面的圆锥,当截面距离下底面的高度为h

设橄榄状的几何体对应的截面平径为R圆柱对应截面的小圆半径为r

则由可得

则橄榄状的几何体对应的截面面积.

由相似可得:,即

圆柱对应的截面的面积

,由祖暅原理可得几何体的体积为:

.

本题选择C选项.

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