Question

18．等比数列{a_n}的各项均为正数，且a₁+2a₂=1，a₃²=4a₂a₆．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n+2=3log₂$\frac{1}{{a}_{n}}$，求数列{a_nb_n}的前n项和．

Answer 1

分析 （1）设数列{a_n}的公比为q，通过解方程组可求得a₁与q，从而可求数列{a_n}的通项公式；
（2）利用错位相减法可求得数列{a_n•b_n}的前n项和S_n．

解答 解：（1）由a₃²=4a₂a₆得：a₃²=4a₄²∴q²=$\frac{1}{4}$    即q=$\frac{1}{2}$
又由a₁+2a₂=1得：a₁=$\frac{1}{2}$
∴a_n=（$\frac{1}{2}$）ⁿ…（6分）
（2）∵b_n+2=3log₂$\frac{1}{an}$∴b_n+2=3log₂2ⁿ∴b_n=3n-2
∴c_n=（3n-2）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ
∴S_n=1×$\frac{1}{2}$+4×（$\frac{1}{2}$）²+7×（$\frac{1}{2}$）³+…+（3n-5）•（$\frac{1}{2}$）^n-1+（3n-2）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ  …①
$\frac{1}{2}$S_n=1×（$\frac{1}{2}$）²+4×（$\frac{1}{2}$）³+7×（$\frac{1}{2}$）⁴+…+（3n-5）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ+（3n-2）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹…②
①-②得：
$\frac{1}{2}$S_n=1×$\frac{1}{2}$+3（（$\frac{1}{2}$）²+（$\frac{1}{2}$）³+…+（$\frac{1}{2}$）ⁿ）-（3n-2）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹
=1×$\frac{1}{2}$+3×$\frac{（\f（1}{2}）2•（1-（\frac{1}{2}）n-1），\frac{1}{2}）$-（3n-2）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹
=$\frac{1}{2}$+3×$\frac{1}{2}$（1-（$\frac{1}{2}$）^n-1）-（3n-2）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ⁺¹
S_n=1+3-3×（$\frac{1}{2}$）^n-1-（3n-2）•（$\frac{1}{2}$）ⁿ=4-（$\frac{1}{2}$）ⁿ（6+3n-2）=4-（$\frac{1}{2}$）ⁿ（3n+4）
即：S_n=4-$\frac{3n+4}{2n}$…（12分）

点评 本题考查数列的错位相减法求和，考查等比数列的通项公式与求和公式的综合应用，属于中档题．