Question

【题目】已知函数，其中常数．

（1）当时，求函数的单调区间．

（2）设定义在上的函数在点处的切线方程为．当时，若在内恒成立，则称为函数的“类对称点”．当时，是否存在“类对称点”？若存在，请求出一个“类对称点”的横坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）单调递增区间为和，单调递减区间为；（2）存在，横坐标为.

【解析】

（1）由题得的定义域为，，由求得单调增区间，由求得单调减区间即可.

（2）当时，,求得在处的切线方程，求得，然后根据“类对称点”的定义求“类对称点”的横坐标即可.

解：（1）函数的定义域为．

．

．

由，即，得或．

由，得.

∴函数的单调递增区间为和，单调递减区间为．

（2）存在．

当时，，

∴在点处的切线的斜率为，

∴在点处的切线方程为．

令，

则．

，

令，得或．

①当，即时，

令，则，

∴函数在区间上单调递减，

又易知，∴当时，，从而有时，．

②当，即时，

令，则，

∴函数在区间上单调递减，

∴当时，，从而有时，．

综合①②，当时，函数不存在“类对称点”．

③当即时，

，∴函数在上是增函数．

若，则；

若，则．故恒成立．

综上，当时，函数存在“类对称点”，其横坐标为．