Question

9．对于函数f（x），若存在x₀∈R，使f（x₀）=x₀，则称x₀是f（x）的一个不动点，已知f（x）=x²+ax+4在[1，3]恒有两个不同的不动点，则实数a的取值范围$[-\frac{10}{3}，-3）$．

Answer 1

分析 不动点实际上就是方程f（x₀）=x₀的实数根．二次函数f（x）=x²+ax+4有不动点，是指方程x=x²+ax+4有实根．即方程x=x²+ax+4有两个不同实根，然后根据根列出不等式解答即可．

解答 解：根据题意，f（x）=x²+ax+4在[1，3]恒有两个不同的不动点，得x=x²+ax+4在[1，3]有两个实数根，
即x²+（a-1）x+4=0在[1，3]有两个不同实数根，令g（x）=x²+（a-1）x+4．在[1，3]有两个不同交点，
∴$\left\{\begin{array}{l}g（1）≥0\\ g（3）≥0\\ 1＜\frac{1-a}{2}＜3\\{（a-1）}^{2}-16＞0\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}a+4≥0\\ 3a+10≥0\\ 1＜\frac{1-a}{2}＜3\\{（a-1）}^{2}-16＞0\end{array}\right.$
解得：a∈$[-\frac{10}{3}，-3）$；
故答案为：$[-\frac{10}{3}，-3）$．

点评 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、函数与方程的综合运用，解答该题时，借用了一元二次方程的根的判别式与根这一知识点．