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    【题目】德国数学家科拉茨1937年提出一个著名的猜想：任给一个正整数 ，如果 是偶数，就将它减半（即 ）；如果 是奇数，则将它乘3加1（即 ），不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1.对于科拉茨猜想，目前谁也不能证明。也不能否定，现在请你研究：如果对正整数 （首项）按照上述规则旅行变换后的第9项为1（注：1可以多次出现），则 的所有不同值的个数为 ．

    【答案】7
    【解析】如果正整数 按照上述规则施行变换后的第9项为1，则变换中的第8项一定是2，变换中的第7项一定是4；按照这种逆推的对应关系可得如下树状图： ，

    则 的所有可能的取值为4，5， 6，32，40，42，256共7个，所以答案是7.

    练习册系列答案
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    【题目】某省2016年高中数学学业水平测试的原始成绩采用百分制，发布成绩使用等级制．各等级划分标准如下：85分及以上，记为A等；分数在[70，85）内，记为B等；分数在[60，70）内，记为C等；60分以下，记为D等．同时认定A，B，C为合格，D为不合格．已知某学校学生的原始成绩均分布在[50，100]内，为了了解该校学生的成绩，抽取了50名学生的原始成绩作为样本进行统计，按照[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]的分组作出样本频率分布直方图如图所示．

    （Ⅰ）求图中x的值，并根据样本数据估计该校学生学业水平测试的合格率；
    （Ⅱ）在选取的样本中，从70分以下的学生中随机抽取3名学生进行调研，用X表示所抽取的3名学生中成绩为D等级的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．

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    【题目】在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，M是直线DE上的动点．若△ABC的面积为2，则 + 2的最小值为 ．

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    【题目】已知函数 .
    （1）求函数 的单调区间和极值；
    （2）是否存在实数 ,使得函数 在 上的最小值为 ？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由.

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】如图是一座桥的截面图，桥的路面由三段曲线构成，曲线AB和曲线DE分别是顶点在路面A、E的抛物线的一部分，曲线BCD是圆弧，已知它们在接点B、D处的切线相同，若桥的最高点C到水平面的距离H=6米，圆弧的弓高h=1米，圆弧所对的弦长BD=10米．
    （1）求弧 所在圆的半径；
    （2）求桥底AE的长．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】如图，已知椭圆E： + =1（a＞b＞0）的左顶点A（﹣2，0），且点（﹣1， ）在椭圆上，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点．过点A作斜率为k（k＞0）的直线交椭圆E于另一点B，直线BF2交椭圆E于点C．

    （1）求椭圆E的标准方程；
    （2）若△CF1F2为等腰三角形，求点B的坐标；
    （3）若F1C⊥AB，求k的值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】已知圆M：与轴相切．

    (1)求的值；

    (2)求圆M在轴上截得的弦长；

    (3)若点是直线上的动点，过点作直线与圆M相切，为切点，求四边形面积的最小值．

    【答案】(1) (2) (3)

    【解析】试题分析：(1)先将圆的一般方程化成标准方程，利用直线和圆相切进行求解；(2) 令，得到关于的一元二次方程进行求解；(3)将四边形的面积的最小值问题转化为点到直线的的距离进行求解.

    试题解析：(1) 　　∵圆M：与轴相切　　

    ∴　　　∴

    (2) 令，则　　∴

    　∴

    (3)

    　∵的最小值等于点到直线的距离，　

    ∴　∴

    ∴四边形面积的最小值为．

    【题型】解答题
    【结束】
    20

    【题目】在平面直角坐标系中，圆的方程为，且圆与轴交于， 两点，设直线的方程为．

    （1）当直线与圆相切时，求直线的方程；

    （2）已知直线与圆相交于， 两点．

    （ⅰ）若，求实数的取值范围；

    （ⅱ）直线与直线相交于点，直线，直线，直线的斜率分别为， ， ，

    是否存在常数，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．

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    【题目】已知函数，且时，总有成立．

    求a的值；

    判断并证明函数的单调性；

    求在上的值域．

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    【题目】已知椭圆 的左、右焦点分别为 、 ，短轴两个端点为 、 ，且四边形 是边长为2的正方形．

    （1）求椭圆的方程；
    （2）若 、 分别是椭圆长轴的左、右端点，动点 满足 ，连接 ，交椭圆于点 ．证明： 为定值．
    （3）在（2）的条件下，试问 轴上是否存异于点 的定点 ，使得以 为直径的圆恒过直线 、 的交点，若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．

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