Question

9．若sinx+siny=1，则cosx-cosy的取值范围是（　　）

• A． $[-\sqrt{3}，\;\;\sqrt{3}]$
• B． $[-\sqrt{2}，\;\;\sqrt{2}]$
• C． [-1，1]
• D． [-2，2]

Answer 1

分析 利用完全平方公式化简（sinx+siny）²+（cosx-cosy）²，并利用同角三角函数间基本关系及两角和与差的余弦函数公式变形，把sinx+siny的值代入，根据余弦函数的值域确定出（cosx-cosy）²的范围，即可求出cosx-cosy的范围．

解答 解：∵（sinx+siny）²+（cosx-cosy）²=sin²x+2sinxsiny+sin²y+cos²x-2cosxcosy+cos²y=2-2cos（x+y），
将sinx+siny=1代入得：1+（cosx+cosy）²=2-2cos（x+y），
即（cosx-cosy）²=1-2cos（x+y）≤1+2×1=3，
∵-1≤cos（x+y）≤1，∴-1≤1+2cos（x+y）≤3，∴0≤（cosx-cosy）²≤3，
解得：-$\sqrt{3}$≤cosx-cosy≤$\sqrt{3}$，则cosx-cosy的范围为[-$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$]，
故选：A．

点评 此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键，属于中档题．