分析 利用导数研究函数f(x)的最值问题,根据题意对任意x1∈(0,2),存在x2∈[1,2],使f(x1)≥g(x2),只要f(x)的最小值大于等于g(x)的最小值即可.
解答 解:∵函数$f(x)=lnx-\frac{1}{4}x+\frac{3}{4x}-1$,
∴f′(x)=$\frac{1}{x}-\frac{1}{4}-\frac{3}{4{x}^{2}}$=$\frac{-{x}^{2}+4x-3}{4{x}^{2}}$=$-\frac{(x-1)(x-3)}{4{x}^{2}}$,
若f′(x)>0,1<x<3,f(x)为增函数;
若f′(x)<0,x>3或0<x<1,f(x)为减函数;
f(x)在x∈(0,2)上有极值,
f(x)在x=1处取极小值也是最小值f(x)min=f(1)=-$\frac{1}{4}+\frac{3}{4}-1$=-$\frac{1}{2}$;
∵g(x)=x2-2bx+4=(x-b)2+4-b2,对称轴x=b,x∈[1,2],
当b<1时,g(x)在x=1处取最小值g(x)min=g(1)=1-2b=4=5-2b;
当1<b<2时,g(x)在x=b处取最小值g(x)min=g(b)=4-b2;
当b>2时,g(x)在[1,2]上是减函数,g(x)min=g(2)=4-4b+4=8-4b;
∵对任意x1∈(0,2),存在x2∈[1,2],使f(x1)≥g(x2),
∴只要f(x)的最小值大于等于g(x)的最小值即可,
当b<1时,-$\frac{1}{2}$≥5-2b,解得b≥$\frac{11}{4}$,故b无解;当b>2时,-$\frac{1}{2}$≥8-4b,解得b≥$\frac{17}{8}$,
综上:b≥$\frac{17}{8}$,
故答案为:[$\frac{17}{8}$,+∞).
点评 本题考查不等式恒成立问题,利用导数求闭区间上函数的最值,根据不等式恒成立转化为最值是解决本题的关键.综合性较强,运算较大,有一定的难度.
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A. | $\frac{3}{4}$ | B. | $\frac{4}{3}$ | C. | $\frac{3}{4}$或 $\frac{4}{3}$ | D. | -$\frac{3}{4}$或-$\frac{4}{3}$ |
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做不到光盘 | 能做到光盘 | 合计 | |
男 | 45 | 10 | 55 |
女 | 30 | 15 | 45 |
合计 | 75 | 25 | 100 |
P(X2≥k0) | 0.25 | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 |
k0 | 1.323 | 2.072 | 2.706 | 3841 | 5.024 |
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A. | 小指 | B. | 中指 | C. | 食指 | D. | 大拇指 |
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