Question

3．在ABC-A₁B₁C₁中，所有棱长均相等，且∠ABB₁=60°，D为AC的中点，求证：
（1）B₁C∥平面A₁BD；
（2）AB⊥B₁C．

Answer 1

分析 （1）连接AB₁和A₁B，交于E，连接DE，运用中位线定理和线面平行的判定定理，即可得证；
（2）取AB中点O，连接OC，OB₁，则OB₁⊥AB，证明AB⊥平面OB₁C，即可证明AB⊥B₁C．

解答 证明：（1）连接AB₁和A₁B，交于E，连接DE，
由D，E分别为AC，A₁B的中点，可得DE∥B₁C，
由DE?平面A₁BD，B₁C?平面A₁BD，
即有B₁C∥平面A₁BD；
（2）取AB中点O，连接OC，OB₁，则OB₁⊥AB．
在正△ABC中，O为AB的中点，∴OC⊥AB，
∵OB₁∩OC=O，
∴AB⊥平面OB₁C，
∴AB⊥B₁C．

点评 本题考查线面平行和线面垂直的判定，注意运用线面平行和线面垂直的判定定理，考查空间线面位置关系的转化，属于中档题．