Question

18．如图，在四面体ABCD中，已知AB=2，BC=1，AD=3，CD=4且 AD⊥AB，BC⊥AB，则二面角C-AB-D的余弦值为-$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 在平面ABC中，过A作AB的垂线AE，过C作AB的平行线CE，交AE于E，连结DE，则∠DAE是二面角C-AB-D的平面角，由此能求出二面角C-AB-D的余弦值．

解答 解：在平面ABC中，过A作AB的垂线AE，过C作AB的平行线CE，交AE于E，连结DE，
∵在四面体ABCD中，已知AB=2，BC=1，AD=3，CD=4且 AD⊥AB，BC⊥AB，
∴∠DAE是二面角C-AB-D的平面角，
ABCE是长方形，AE=BC=1，CE=AB=2，DE⊥CE，
∴DE=$\sqrt{D{C}^{2}-C{E}^{2}}$=$\sqrt{16-4}$=2$\sqrt{3}$，
∴cos∠DAE=$\frac{A{D}^{2}+A{E}^{2}-D{E}^{2}}{2AD•AE}$=$\frac{9+1-12}{2×3×1}$=-$\frac{1}{3}$．
∴二面角C-AB-D的余弦值为-$\frac{1}{3}$．
故答案为：$-\frac{1}{3}$．

点评 本题考查二面角的余弦值的求不地，是中档题，解题时要认真审题，注意余弦定理的合理运用．