Question

12．已知函数$f（x）=x-\frac{1}{x}$；
（1）证明f（x）在区间（0，+∞）为单调递增函数；
（2）求f（x）在[1，2]上的值域．

Answer 1

分析 （1）利用函数的单调性的定义求解证明即可．
（2）利用函数的单调性直接求解函数的值域即可．

解答 解：（1）证明：在区间（0，+∞）任意取x₁，x₂，且x₁＜x₂有$f（{x_1}）-f（{x_2}）=（{x_1}-\frac{1}{x_1}）-（{x_2}-\frac{1}{x_2}）$=$（{x_1}-{x_2}）（1+\frac{1}{{{x_1}{x_2}}}）$
由条件知x₁-x₂＜0且$1+\frac{1}{{{x_1}{x_2}}}＞0$有f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）
所以，f（x）在区间（0，+∞）为单调递增函数…（6分）；
（2）由（1）知f（x）在区间（0，+∞）为单调递增函数，所以${[f（x）]_{max}}=f（2）=\frac{3}{2}$，
[f（x）]_min=f（1）=0，所以f（x）在[1，2]上的值域为$[0，\frac{3}{2}]$…（6分）．

点评 本题考查函数的单调性的证明与应用，考查计算能力．