Question

已知圆C过两点A（1，-1），B（2，-2），且圆心C在直线2x-y-4=0上．
（1）求圆C的方程；
（2）设P是直线3x-4y-5=0上的动点，PM，PN是圆C的两条切线，切点分别为M，N，求四边形PMCN面积的最小值．

Answer 1

分析：（1）设圆心坐标，根据圆C过两点A（1，-1），B（2，-2），利用两点间的距离公式，即可求得圆心与半径，从而可得圆C的方程；
（2）四边形PMCN的面积是两个三角形的面积的和，因为CM⊥PM，CM=1，显然PM最小时，四边形面积最小，此时PC最小，由此可得结论．

解答：解：（1）设圆心坐标为（a，2a-4），则
∵圆C过两点A（1，-1），B（2，-2），
∴

(a-1)2+(2a-3)2

=

(a-2)2+(2a-2)2

∴a=1，∴圆心坐标为（1，-2）圆的半径为1
∴圆C的方程为（x-1）²+（y+2）²=1；
（2）解：由题意过点P作圆C的两条切线，切点分别为M，N，
可知四边形PMCN的面积是两个三角形的面积的和，因为CM⊥PM，CM=1，
显然PM最小时，四边形面积最小，此时PC最小
∵P是直线3x-4y-5=0上的动点，
∴PC_最小值=

|3+8-5|

9+16

=

6

5

，
∴PM_最小值=

36 25 -1

=

11

5

∴四边形PMCN面积的最小值为2×

1

2

×

11

5

×1=

11

5

．

点评：本题考查圆的方程，考查四边形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．