Question

设椭圆（a＞b＞1）右焦点为F，它与直线l：y=k（x+1）相交于P、Q两点，l与x轴的交点M到椭圆左准线的距离为d，若椭圆的焦距是b与d+|MF|的等差中项．
（1）求椭圆离心率e；
（2）设N与M关于原点O对称，若以N为圆心，b为半径的圆与l相切，且求椭圆C的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据题意可得，4c=b+d+|MF|=b+c+，化简可得3c²=bc+a³=bc+b²+c²；进而可得b=c，则a=c，计算可得答案．
（2）由（1）中a、b的关系，设椭圆方程为x²+2y²=2b²，联立两者的方程，可得（1+2k²）x²+4k²x+2k²-2b²=0；令其△＞0得，
b²＞，由根与系数的关系，可以表示出，结合题意，以N为圆心，b为半径的圆与l相切，可得又=b，化简可得b²（k²+1）=4k²，代入中，解可得k的值，进而可得a、b的值；进而可得答案．
解答：解：（1）根据题意，椭圆的焦距是b与d+|MF|的等差中项，
则4c=b+d+|MF|=b+c+（＞a＞1），即3c²=bc+a³=bc+b²+c²；
化简可得，b=c，则a=c，
则e=；
（2）设椭圆方程为x²+2y²=2b²，
联立，得（1+2k²）x²+4k²x+2k²-2b²=0；
由△＞0得，b²＞，
且x₁+x₂=-，x₁•x₂=，
==- ①；
又=b得b²（k²+1）=4k²，
代入①解得：k²=1；
即b²=2，a²=4；
椭圆的方程为+=1．
点评：本题考查直线与椭圆的位置关系，注意在解题时，联立直线与椭圆的方程，一定要令△＞0，并计算k、b的关系；保证直线与椭圆有两个不同的交点．