已知椭圆C的方程为x24+y23=1.直线l0:x=4.A是椭圆C的右顶点.点P(x1.y1)是椭圆上异于左.右顶点的一个动点.直线PA与l0交于点M1.直线l过点P且与椭圆交于另一点B(x2.y2).与l0交于点M2.(1)若直线l经过椭圆的左焦点F.且使得AP•AB=3.求直线l的方程,(2)若点B恰为椭圆的左顶点.同x轴上是否存在定点D.使得变化的点P.以M1M2为直径的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

已知椭圆C的方程为

=1，直线l₀：x=4，A是椭圆C的右顶点，点P（x₁，y₁）是椭圆上异于左，右顶点的一个动点，直线PA与l₀交于点M₁，直线l过点P且与椭圆交于另一点B（x₂，y₂），与l₀交于点M₂，
（1）若直线l经过椭圆的左焦点F，且使得

•

=3，求直线l的方程；
（2）若点B恰为椭圆的左顶点，同x轴上是否存在定点D，使得变化的点P，以M₁M₂为直径的圆总经过点D，若存在，求这样的圆面积的最小值；若不存在；请说明理由．

考点：椭圆的简单性质

专题：计算题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）设PB方程为y=k（x+1）（k≠0）代入椭圆方程，得（3+4k²）x²+8k²x+4k²-12=0，由此利用韦达定理结合已知条件，结合向量的数量积坐标表示表示，能求出直线l的方程；
（2）假设存在x轴上定点D，使得以M₁M₂为直径的圆恒过点D，设出D的坐标，求出AP和PB的方程，取x=4得到
M₁，M₂的坐标，写出向量

DM1

和

DM2

的坐标，由数量积等于0列式求出D的坐标．

解答： （1）解：由于直线PB的斜率存在，设PB方程为y=k（x+1）（k≠0）
代入椭圆的方程

=1，得（3+4k²）x²+8k²x+4k²-12=0，
由P（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
得x₁+x₂=-

8k2

3+4k2

，x₁x₂=

4k2-12

3+4k2

，
y₁y₂=k²（x₁+1）（x₂+1）=k²（x₁x₂+x₁+x₂+1）=

-9k2

3+4k2

，

•

=（x₁-2）（x₂-2）+y₁y₂=x₁x₂-2（x₁+x₂）+4+y₁y₂
=

27k2

3+4k2

=3，
解得，k=±

，
故直线l的方程为y=±

（x+1）；
（2）假设存在x轴上定点D，使得以M₁M₂为直径的圆恒过点D．
设P（x₁，y₁），D（m，0），
则

x12

y12

=1，得12y₁²=36-9x₁²．k_AP=

x1-2

，k_BP=

x1+2

，
椭圆右准线为x=4．
所以AP方程为：y=

x1-2

（x-2），则M₁（4，

2y1

x1-2

），
PB方程为：y=

x1+2

（x+2），则M₂（4，

6y1

x1+2

）．
则

DM1

=（4-m，

2y1

x1-2

），

DM2

=（4-m，

6y1

x1+2

）．
由以M₁M₂为直径的圆总经过点D，得

DM1

•

DM2

=0，
即有（4-m）²+

12y12

x12-4

=0，
即（4-m）²=9，解得m=1或m=7．
所以存在x轴上定点D（1，0）或（7，0），使得以M₁M₂为直径的圆恒过点D．

点评：本题考查了椭圆的标准方程和性质，考查了直线和椭圆的位置关系，训练了平面向量的数量积判断两个向量的垂直，考查了学生的计算能力，是有一定难度题目．

练习册系列答案

年级	高中课程	年级	初中课程
高一	高一免费课程推荐！	初一	初一免费课程推荐！
高二	高二免费课程推荐！	初二	初二免费课程推荐！
高三	高三免费课程推荐！	初三	初三免费课程推荐！
更多初中、高中辅导课程推荐,点击进入>>