Question

4．（1）已知函数f（x）=$\frac{x（1-{x}^{2}）}{{x}^{2}+1}$，x∈[$\frac{1}{2}$，1]，求f（x）的最大值．
（2）已知函数g（x）=$\frac{ax+b}{{x}^{2}+c}$是定义在R上的奇函数，且当x=1时取得极大值1．
①求g（x）的表达式；
②若x₁=$\frac{1}{2}$，x_n+1=g（x_n），n∈N，求证：$\frac{（{x}_{2}-{x}_{1}）^{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$+$\frac{（{x}_{3}-{x}_{2}）^{2}}{{x}_{3}{x}_{2}}$+…+$\frac{（{x}_{n+1}-{x}_{n}）^{2}}{{x}_{n}{x}_{n+1}}$≤10．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，根据函数的单调性求出函数的最大值即可；
（2）①求出g（x）的导数，根据g′（1）=0，求出c=1，根据g（1）=1，求出a=2，从而求出g（x）的解析式即可；
②求出x_n+1-x_n=$\frac{{x}_{n}（1{{-x}_{n}}^{2}）}{{{x}_{n}}^{2}+1}$≤$\frac{3}{10}$，得到$\frac{{（{{x}_{n+1}-x}_{n}）}^{2}}{{{x}_{n}x}_{n+1}}$≤$\frac{3}{10}$•$\frac{（{{x}_{n+1}-x}_{n}）}{{{x}_{n}x}_{n+1}}$=$\frac{3}{10}$•（$\frac{1}{{x}_{n}}$-$\frac{1}{{x}_{n+1}}$），从而证出结论．

解答 解：（1）f′（x）=$\frac{5{-{（x}^{2}+2）}^{2}}{{{（x}^{2}+1）}^{2}}$，
易得x∈[$\frac{1}{2}$，1]时，恒有f′（x）＜0，
∴f（x）_max=f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{3}{10}$；
（2）①由已知得：g（0）=0，解得：b=0，
则g（x）=$\frac{ax}{{x}^{2}+c}$，
g′（x）=$\frac{ac-{ax}^{2}}{{{（x}^{2}+c）}^{2}}$，
x=1时，g（x）取得极大值1，
则g′（1）=0，故a（c-1）=0，
又a≠0，（否则g（x）=0，不合题意），
则c=1，
而g（1）=$\frac{a}{1+1}$=1，解得：a=2，
则g（x）=$\frac{2x}{{x}^{2}+1}$；
②由x₁=$\frac{1}{2}$以及x_n+1=g（x_n），
∴x_n+1=$\frac{{2x}_{n}}{{{x}_{n}}^{2}+1}$=$\frac{2}{{x}_{n}+\frac{1}{{x}_{n}}}$≤1，
∴x_n+1-x_n=$\frac{{x}_{n}（1{{-x}_{n}}^{2}）}{{{x}_{n}}^{2}+1}$≥0，
∴{x_n}满足x_n+1≥x_n，且x_n∈[$\frac{1}{2}$，1]，（n∈N₊），
则由（1）得：x_n+1-x_n=$\frac{{x}_{n}（1{{-x}_{n}}^{2}）}{{{x}_{n}}^{2}+1}$≤$\frac{3}{10}$，
∴$\frac{{（{{x}_{n+1}-x}_{n}）}^{2}}{{{x}_{n}x}_{n+1}}$=（x_n+1-x_n）•$\frac{（{{x}_{n+1}-x}_{n}）}{{{x}_{n}x}_{n+1}}$
≤$\frac{3}{10}$•$\frac{（{{x}_{n+1}-x}_{n}）}{{{x}_{n}x}_{n+1}}$=$\frac{3}{10}$•（$\frac{1}{{x}_{n}}$-$\frac{1}{{x}_{n+1}}$），
∴$\frac{（{x}_{2}-{x}_{1}）^{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$+$\frac{（{x}_{3}-{x}_{2}）^{2}}{{x}_{3}{x}_{2}}$+…+$\frac{（{x}_{n+1}-{x}_{n}）^{2}}{{x}_{n}{x}_{n+1}}$
≤$\frac{3}{10}$（$\frac{1}{{x}_{1}}$-$\frac{1}{{x}_{2}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$-$\frac{1}{{x}_{3}}$+…+$\frac{1}{{x}_{n}}$-$\frac{1}{{x}_{n+1}}$）
=$\frac{3}{10}$•（$\frac{1}{{x}_{1}}$-$\frac{1}{{x}_{n+1}}$），
而x₁=$\frac{1}{2}$且x_n+1∈[$\frac{1}{2}$，1]，
则$\frac{1}{{x}_{1}}$-$\frac{1}{{x}_{n+1}}$∈[0，1]，
故得证．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，是一道综合题．