Question

已知函数f（x）=lnx+ax²+bx
（1）若曲线y=f（x），在点（1，f（1））处的切线与圆x²+y²=1相切，求b取值范围；
（2）若2a+b+1=0，讨论函数的单调性；
（3）证明：2+

3

22

+

4

32

+…

n+1

n2

＞1n（n+1）（n∈N^*）．

Answer 1

分析：（1）利用导数的几何意义即可得出切线方程，再利用直线与圆相切的性质即可得出a，b的关系，再利用判别式即可得出b的取值范围；
（2）利用导数的运算法则可得f′（x），通过对b分类讨论即可得出其单调性；
（3）利用（2）的结论，取b=1时可得f（x）在x＞1是单调递减，可得f（x）＜f（1），进而得到ln(n+1)-lnn＜

n+1

n2

．利用累加求和即可得出．

解答：解：（1）∵f′(x)=

1

x

+2ax+b(x＞0)，∴f′（1）=1+2a+b，
其切线方程为y-（a+b）=（1+2a+b）（x-1），即（1+2a+b）x-y-1-a=0．
由切线与圆x²+y²=1相切可得

|1+a|

(1+2a+b)2+1

=1
化为3a²+（2+4b）a+b²+2b+1=0，此方程有解，∴△=（2+4b）²-12（b²+2b+1）≥0，解得b≥1+

3

或b≤1-

3

．
（2）∵2a+b+1=0，∴2a=-1-b，∴f′(x)=

1

x

-(1+b)x+b=

-[(1+b)x+1](x-1)

x

（x＞0）．
①b=-1时，f′(x)=

-(x-1)

x

，由f′（x）＞0解得0＜x＜1，函数f（x）单调递增；由f′（x）＜0，解得x＞1，函数f（x）单调递减．
②当-2＜b＜-1时，

-1

1+b

＞1，由f′（x）＞0解得1＜x＜

-1

1+b

，函数f（x）单调递增；
由f′（x）＜0，解得x＞

-1

1+b

或0＜x＜1，函数f（x）单调递减．
③当b＜-2时，0＜

-1

1+b

＜1，由f′（x）＞0解得

-1

1+b

＜x＜1，函数f（x）单调递增；
由f′（x）＜0，解得x＞1或0＜x＜-

1

1+b

，函数f（x）单调递减．
④当b＞-1时，

-1

1+b

＜0，由f′（x）＞0解得0＜x＜1，函数f（x）单调递增；
由f′（x）＜0，解得x＞1，函数f（x）单调递减．
（3）由（2）可知：当b=1时，当x＞1时，函数f（x）单调递减．
∴f（x）＜f（1），即lnx-x²+x＜0，令x=1+

1

n

，可得ln(n+1)-lnn＜

n+1

n2

．
∴ln（n+1）=[ln（n+1）-lnn]+[lnn-ln（n-1）]+…+[ln2-ln1]+ln1＜

n+1

n2

+

n

(n-1)2

+…+

2

1

+0，
即2+

3

22

+

4

32

+…+

n+1

n2

＞ln(n+1)．

点评：熟练掌握导数的几何意义、切线方程、直线与圆相切的性质、点到直线的距离公式、导数的运算法则、分类讨论的思想方法、累加求和等是解题的关键．