Question

10．已知动直线y=k（x+1）与椭圆C：x²+3y²=5相交于A、B两点，已知点$M（-\frac{7}{3}，0）$，则$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}$的值是（　　）

• A． $-\frac{9}{4}$
• B． $\frac{9}{4}$
• C． $-\frac{4}{9}$
• D． $\frac{4}{9}$

Answer 1

分析 联立直线方程与椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系结合数量积的坐标运算求得答案．

解答 解：联立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+1）}\\{{x}^{2}+3{y}^{2}=5}\end{array}\right.$，得（1+3k²）x²+6k²x+3k²-5=0，
△=36k⁴-4（3k²+1）（3k²-5）=48k²+20＞0，
${x_1}+{x_2}=-\frac{{6{k^2}}}{{3{k^2}+1}}$，${x_1}{x_2}=\frac{{3{k^2}-5}}{{3{k^2}+1}}$，
∴$\overrightarrow{MA}•\overrightarrow{MB}=（{x_1}+\frac{7}{3}，{y_1}）（{x_2}+\frac{7}{3}，{y_2}）=（{x_1}+\frac{7}{3}）（{x_2}+\frac{7}{3}）+{y_1}{y_2}$
=$（{x_1}+\frac{7}{3}）（{x_2}+\frac{7}{3}）+{k^2}（{x_1}+1）（{x_2}+1）$=$（1+{k^2}）{x_1}{x_2}+（\frac{7}{3}+{k^2}）（{x_1}+{x_2}）+\frac{49}{9}+{k^2}$
=$（1+{k^2}）\frac{{3{k^2}-5}}{{3{k^2}+1}}+（\frac{7}{3}+{k^2}）（-\frac{{6{k^2}}}{{3{k^2}+1}}）+\frac{49}{9}+{k^2}$
=$\frac{{-3{k^4}-16{k^2}-5}}{{3{k^2}+1}}+\frac{49}{9}+{k^2}$=$\frac{4}{9}$．
故选：D．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查了直线与椭圆位置关系的应用，体现了“设而不求”的解题思想方法，是中档题．