Question

设抛物线C₁：y²=4mx（m＞0）的准线与x轴交于F₁，焦点为F₂，以F₁，F₂为焦点，离心率为

1

2

的椭圆C₂与抛物线C₁的一个交点为P．
（1）若椭圆的长半轴长为2，求抛物线方程；
（2）在（1）的条件下，直线l经过椭圆C₂的右焦点F₂，与抛物线C₁交于A₁，A₂两点，如果|A₁A₂|等于△PF₁F₂的周长，求l的斜率；
（3）是否存在实数m，使得△PF₁F₂的边长是连续的自然数？若存在，求出m的值，若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）由椭圆C₂的离心率为

1

2

，长半轴长为2，即可求出a，b，c的值，进而求出抛物线交点坐标，抛物线方程也就能求出．
（2）在（1）的条件下，可求出椭圆方程，这样，焦点三角形△PF₁F₂的周长可知，也即|A₁A₂|．再利用弦长公式即可．
（3）先假设存在实数m，使得△PF₁F₂的边长是连续的自然数，因为中间线段长度为2m，所以，最短线段长度为2m-1，再用抛物线定义即可求出．

解答：解：（1）∵椭圆C₂的离心率为

1

2

，长半轴长为2，∴

3

，
∵物线C₁：y²=4mx（m＞0）的焦点为椭圆右焦点，∴

p

2

=1，∴抛物线方程y2=4x
（2）由（1）可知，椭圆方程为

x2

4

+ 

y2

3

= 1，所以△PF₁F₂的周长为2a+2c=6．
①当直线l斜率存在时，设直线方程为y=k（x-1），代入y2=4x，得k²x²-（2k²+4）x+k²=0，
∴x₁+x₂=2+

4

k2

，x₁x₂=1，
∴|A₁A₂|=

1+k2

|x1-x2|=

4

k4

+

8

k2

-5=0，解得，k=±

2

．
②当直线l斜率不存在时，A1点坐标为（1，

3

2

）A2（1，-

3

2

），∴|A₁A₂|=2

3

≠6，不成立．
综上，直线l的斜率为±

2

．
（3）由题意可知，椭圆中c=m．椭圆C₂离心率为

1

2

，∴a=2c．
∴椭圆方程为

x2

4m2

+

y2

3m2

= 1由，

x2 4m2 + y2 3m2 = 1 y2=4mx

得P点横坐标为

2

3

m，在椭圆中，|PF₁|+|PF₂|=2a=4m，
|F₁F₂|=2m，∴|PF₂|，|F₁F₂|，|PF₁|成等差数列，
假设存在实数m，使得△PF₁F₂的边长是连续的自然数，则PF₂|=|F₁F₂|-1=2m-1，又因为P在抛物线上，
∴|F₁F₂|=

2

3

m+m，∴m=3

点评：本题考查了椭圆，抛物线，与直线的位置关系，综合性强，做题时认真观察，找出切入点．