【题目】设椭圆的离心率是,A、B分别为椭圆的左顶点、上顶点,原点O到AB所在直线的距离为.
(I)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)已知直线与椭圆相交于不同的两点M,N(均不是长轴的端点),,垂足为H,且,求证:直线恒过定点.
【答案】(I)(Ⅱ)见解析
【解析】
(I)直线AB的方程为:1,化为:bx﹣ay+ab=0.原点O到AB所在直线的距离为,可得,化为:12(a2+b2)=7a2b2,又,
a2=b2+c2.联立解出即可得出.
(Ⅱ)设M(x1,y1),N(x2,y2).联立,化为:(3+4k2)x2+8kmx+4m2﹣12=0,△>0,由AH⊥MN,垂足为H,且2,可得AM⊥AN.可得(x1+2)(x2+2)+y1y2=(2+km)(x1+x2)+(1+k2)x1x2+4+m2=0,把根与系数的关系代入化简即可得出.
(I)直线AB的方程为:1,化为:bx﹣ay+ab=0.
∵原点O到AB所在直线的距离为,∴,
化为:12(a2+b2)=7a2b2,又,a2=b2+c2.
联立解得a=2,b,c=1.
∴椭圆C的方程为:1.
(Ⅱ)设M(x1,y1),N(x2,y2).
联立,化为:(3+4k2)x2+8kmx+4m2﹣12=0,
△=64k2m2﹣4(3+4k2)(4m2﹣12)>0,(*)
∴x1+x2,x1x2,
∵AH⊥MN,垂足为H,且2,
∴AM⊥AN.
∴(x1+2)(x2+2)+y1y2=(x1+2)(x2+2)+(kx1+m)(kx2+m)=(2+km)(x1+x2)+(1+k2)x1x2+4+m2=0,
∴﹣(2+km)(1+k2)4+m2,
∴4k2﹣16km+7m2=0,
解得km,或m.满足(*)
∴直线l方程为:y=m(x+1),或y=m.
直线y=m(x+1)恒过定点A(﹣2,0),舍去.
直线y=m恒过定点(,0),
∴直线l恒过定点(,0).
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【题目】某市民用水拟实行阶梯水价,每人用水量中不超过立方米的部分按4元/立方米收费,超出立方米的部分按10元/立方米收费,从该市随机调查了10000位居民,获得了他们某月的用水量数据,整理得到如下频率分布直方图:
(1)如果为整数,那么根据此次调查,为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米, 至少定为多少?
(2)假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替,当时,估计该市居民该月的人均水费.
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【题目】现行的个税法修正案规定:个税免征额由原来的2000元提高到3500元,并给出了新的个人所得税税率表:
全月应纳税所得额 | 税率 |
不超过1500元的部分 | 3% |
超过1500元至4500元的部分 | 10% |
超过4500元至9000元的部分 | 20% |
超过9000元至35000元的部分 | 25% |
…… | … |
例如某人的月工资收入为5000元,那么他应纳个人所得税为:(元).
(Ⅰ)若甲的月工资收入为6000元,求甲应纳的个人收的税;
(Ⅱ)设乙的月工资收入为元,应纳个人所得税为元,求关于的函数;
(Ⅲ)若丙某月应纳的个人所得税为1000元,给出丙的月工资收入.(结论不要求证明)
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【题目】“大众创业,万众创新”是李克强总理在本届政府工作报告中向全国人民发出的口号,某生产企业积极响应号召,大力研发新产品,为了对新研发的一批产品进行合理定价,将该产品按事先拟定的价格进行试销,得到一组销售数据,如表所示:
试销单价x(元) | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
产品销量y(件) | 90 | 84 | 83 | 80 | 75 | 68 |
(1)已知变量x,y具有线性相关关系,求产品销量y(件)关于试销单价x(元)的线性回归方程;
(2)用表示用(1)中所求的线性回归方程得到的与对应的产品销量的估计值.当销售数据对应的残差的绝对值时,则将销售数据称为一个“好数据”.现从6个销售数据中任取3个,求“好数据”个数的分布列和数学期望.
(参考公式:;参考数据:)
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【题目】已知a∈R,函数f(x)=(-x2+ax)ex(x∈R).
(1)当a=2时,求函数f(x)的单调区间;
(2)若函数f(x)在(-1,1)上单调递增,求a的取值范围.
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【题目】甲、乙两人进行围棋比赛,约定先连胜两局者直接赢得比赛.若赛完5局仍未出现连胜,则判定获胜局数多者赢得比赛.假设每局甲获胜的概率为,乙获胜的概率为各局比赛结果相互独立.则甲在4局以内(含4局)赢得比赛的概率为( )
A.B.C.D.
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【题目】设是圆上的任意一点,是过点且与轴垂直的直线,是直线与轴的交点,点在直线上,且满足.当点在圆上运动时,记点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程;
(2)已知直线与曲线交于,两点,点关于轴的对称点为,证明:直线过定点.
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【题目】如图,在矩形ABCD中,AB=2,AD=1,M为AB的中点,将△ADM沿DM翻折.在翻折过程中,当二面角A—BC—D的平面角最大时,其正切值为( )
A. B. C. D.
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【题目】一布袋中装有个小球,甲,乙两个同学轮流且不放回的抓球,每次最少抓一个球,最多抓三个球,规定:由乙先抓,且谁抓到最后一个球谁赢,那么以下推断中正确的是( )
A. 若,则乙有必赢的策略B. 若,则甲有必赢的策略
C. 若,则甲有必赢的策略D. 若,则乙有必赢的策略
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