Question

已知S_n是等比数列{a_n}的前n项和，S₄，S₂，S₃成等差数列，且a₂＋a₃＋a₄＝－18.
(1)求数列{a_n}的通项公式；
(2)是否存在正整数n，使得S_n≥2 013？若存在，求出符合条件的所有n的集合；若不存在，说明理由．

Answer 1

(1) a_n＝3×(－2)^n－1  (2) 存在，{n|n＝2k＋1，k∈N，k≥5}，理由见解析

解：(1)设数列{a_n}的公比为q，则a₁≠0，q≠0.由题意得
即
解得
故数列{a_n}的通项公式为a_n＝3×(－2)^n－1.
(2)由(1)有S_n＝＝1－(－2)ⁿ.
若存在n，使得S_n≥2 013，则1－(－2)ⁿ≥2 013，即(－2)ⁿ≤－2 012.
当n为偶数时，(－2)ⁿ>0，上式不成立；
当n为奇数时，(－2)ⁿ＝－2ⁿ≤－2 012，
即2ⁿ≥2 012，则n≥11.
综上，存在符合条件的正整数n，且所有这样的n的集合为{n|n＝2k＋1，k∈N，k≥5}．