Question

（本小题12分）如图所示，三棱柱A₁B₁C₁—ABC的三视图中，正(主)视图和侧(左)视图是全等的矩形，俯视图是等腰直角三角形，点M是A₁B₁的中点．

(1)求证：B₁C∥平面AC₁M；
(2)求证：平面AC₁M⊥平面AA₁B₁B.

Answer 1

(1) 由三视图可知三棱柱A₁B₁C₁—ABC为直三棱柱，底面是等腰直角三角形，从而可知MO∥B₁C，利用线面的平行的判定定理，得到结论。
(2)根据题意，由于MO∥B₁C，同时能结合性质可知平面A₁B₁C₁⊥平面AA₁B₁B，从而利用面面垂直的性质定理得到。

解析试题分析：(1)由三视图可知三棱柱A₁B₁C₁—ABC为直三棱柱，底面是等腰直角三角形，且∠ACB＝90°.
连结A₁C，设A₁C∩AC₁＝O，连结MO，
由题意可知，A₁O＝CO，A₁M＝B₁M，
∴MO∥B₁C，
又MO?平面AC₁M，
B₁C?平面AC₁M，∴B₁C∥平面AC₁M.
(2)∵A₁C₁＝B₁C₁，M为A₁B₁的中点，
∴C₁M⊥A₁B₁，
又平面A₁B₁C₁⊥平面AA₁B₁B，
平面A₁B₁C₁∩平面AA₁B₁B＝A₁B₁，
∴C₁M⊥平面AA₁B₁B，
考点：空间中线面和面面的位置关系
点评：解决的关键是是熟练的运用性质定理和判定定理，来证明，属于基础题。