Question

设数列{a_n}中，若a_n+1=a_n+a_n+2，（n∈N^*），则称数列{a_n}为“凸数列”．
（1）设数列{a_n}为“凸数列”，若a₁=1，a₂=-2，试写出该数列的前6项，并求出该6项之和；
（2）在“凸数列”{a_n}中，求证：a_n+3=-a_n，n∈N^*；
（3）设a₁=a，a₂=b，若数列{a_n}为“凸数列”，求数列前2010项和S₂₀₁₀．

Answer 1

分析：（1）依题意分别求得a₁=1，a₂=-2，a₃=-3，a₄=-1，a₅=2，a₆=3，则S₆可得．
（2）把a_n+1=a_n+a_n+2和a_n+2=a_n+1+a_n+3两式相加求得a_n+3=-a_n．
（3）由（2）中的结论可得a_n+6=a_n．进而可知数列为以6为周期的数列，进而看2010是6的多少倍数，进而得到答案．

解答：解：（1）a₁=1，a₂=-2，a₃=-3，a₄=-1，a₅=2，a₆=3，
∴S₆=a₁+a₂+a₃+a₄+a₅+a₆=0，
（2）由条件得

an+1=an+an+2 an+2=an+1+an+3

，
∴a_n+3=-a_n．
（3）由（2）的结论，
∴a_n+6=-a_n+3=a_n，即a_n+6=a_n．
a₁=a，a₂=b，a₃=b-a，a₄=-a，a₅=-b，a₆=a-b．
∴S₆=0．
由（2）得S_6n+k=S_k，n∈N^*，k=1，，6．
∴S₂₀₁₀=S_335×6=0．

点评：本题主要考查了数列的求和．解题的关键是充分利用好题设中的递推式或者变形来解决问题．