Question

已知二次函数y=f(x)在x=处取得最小值-(t＞0),f(1)=0.

(1)求y=f(x)的表达式;?

(2)若任意实数x都满足等式f(x)·g(x)+a_nx+b_n=xⁿ⁺¹,(g(x)为多项式，n∈N),试用t表示a_n和b_n；?

(3)设圆C_n的方程是(x-a_n)²+(y-b_n)²=r_n²,圆C_n与C_n+1外切(n=1,2,3,…),{r_n}是各项都是正数的等比数列，记S_n为前n个圆的面积之和，求r_n,S_n.

Answer 1

解析:(1)设f(x)=a(x-)²-.?

∵f(1)=0,?

∴a(1-)²-=0,得a=1.?

∴f(x)=x²-(t+2)x+t+1.?

(2)f(x)=(x-1)［x-(t+1)］代入已知等式得(x-1)［x-(t+1)］g(x)+a_nx+b_n=xⁿ⁺¹,将x=1,x=t+1分别代入上式得a_n+b_n=1,(t+1)a_n+b_n=(t+1)ⁿ⁺¹.

∵t≠0,可解得a_n=［(t+1)ⁿ⁺¹-1］,b_n=［1-(t+1)ⁿ］.

(3)∵a_n+b_n=1,?

　∴圆C_n的圆心O_n在直线x+y=1上.于是有|O_nO_n+1|=2|a_n+1-a_n|,又圆C_n与圆C_n+1外切，故r_n+r_n+1=(t+1)ⁿ⁺¹,可设{r_n}的公比为q,则?

得q==t+1,于是r_n=,?

∴S_n=π(r₁²+r₂²+…+r_n²)= =·［(t+1)²ⁿ-1］.