Question

据市场调查，某种商品出厂价按月呈f（x）=Asin（ωx+φ）+B（A＞0，ω＞0，|φ|＜

π

2

）的模型波动（x为月份），已知3月份达到最高价8千元，7月份价格最低为4千元；该商品每件售价为g（x）（x为月份），且满足g（x）=f（x-2）+2．
（1）分别写出每件该商品的出厂价函数f（x），售价函数g（x）的解析式；
（2）问：哪几个月能盈利？

Answer 1

考点：根据实际问题选择函数类型

专题：函数的性质及应用,三角函数的求值

分析：（1）利用函数的最值、周期、求出函数的相位初相，得到售价函数g（x）的解析式；
（2）将x=1，2，…，12代入f（x），g（x）求出数值比较知，当x=4，5，6，7，8，12时，g（x）＞f（x）．

解答： 解：（1）f（x）=Asin（ωx+ϕ）+B（A＞0，ω＞0）．
由题意可得A+B=8，-A+B=4，T=8，∴A=2，B=6，ω=

π

4

．…（3分）
∵当x=3时，f（x）取得最大值8．即2sin（

3π

4

+φ）+6=8，
∴φ=2kπ-

π

4

，k∈Z，
不防令φ=-

π

4

，…（5分）
所以f（x）=2sin（

π

4

x-

π

4

）+6（1≤x≤12，x为正整数），…（6分）
g（x）=f（x-2）+2=2sin（

π

4

x-

3π

4

）+8（1≤x≤12，x为正整数）．…（8分）
（2）将x=1，2，…，12代入f（x），g（x）求出数值比较知，
当x=4，5，6，7，8，12时，g（x）＞f（x），
故4，5，6，7，8，12月能赢利．…（14分）

点评：本题考查函数的模型的选择与应用，三角函数的最值的求法，考查分析问题解决问题的能力．