Question

如图，四棱锥P-ABCD，PA⊥底面ABCD，AB∥CD，AB⊥AD，AB=AD=PA=2，CD=4，E，F分别是PC，PD的中点．
（Ⅰ） 证明：EF∥平面PAB；
（Ⅱ） 求直线AC与平面ABEF所成角的正弦值．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）由E，F分别是PC，PD的中点，得EF∥CD，由此能证明EF∥平面PAB．
（Ⅱ）取线段PA中点M，连结EM，则EM∥AC，故AC与面ABEF所成角的大小等于ME与面ABEF所成角的大小，由此能求出AC与平面ABEF所成的角的正弦值．

解答： （Ⅰ）证明：因为E，F分别是PC，PD的中点，所以EF∥CD，
又因为CD∥AB，所以EF∥AB，
又因为EF?平面PAB，AB?平面PAB，
所以EF∥平面PAB．

（Ⅱ）解：取线段PA中点M，连结EM，则EM∥AC，
故AC与面ABEF所成角的大小等于ME与面ABEF所成角的大小．
作MH⊥AF，垂足为H，连结EH．
因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥AB，
又因为AB⊥AD，所以AB⊥平面PAD，
又因为EF∥AB，
所以EF⊥平面PAD．
因为MH?平面PAD，所以EF⊥MH，
所以MH⊥平面ABEF，
所以∠MEH是ME与面ABEF所成的角．
在直角△EHM中，EM=

1

2

AC=

5

，MH=

2

2

，得
sin∠MEH=

10

10

．
所以AC与平面ABEF所成的角的正弦值是

10

10

．

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查直线与平面所成角的正弦值的求法，解题时要注意空间思维能力的培养．