Question

【题目】如图，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，侧棱A1A⊥底面ABCD，AB⊥AC，AB＝1，AC＝AA1＝2，AD＝CD＝，且点M和N分别为B1C和D1D的中点．

（Ⅰ）求证：MN∥平面ABCD；

（Ⅱ）求二面角D1－AC－B1的正弦值；

（Ⅲ）设E为棱A1B1上的点．若直线NE和平面ABCD所成角的正弦值为，求线段A1E的长．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）详见解析 （Ⅱ）（Ⅲ）

【解析】

如图，以A为原点建立空间直角坐标系，依题意可得A（0，0，0），B（0，1，0），C（2，0，0），D（1，－2，0），A1（0，0，2），B1（0，1，2），C1（2，0，2），D1（1，－2，2），又因为M，N分别为B1C和D1D的中点，得 M，N（1，－2，1）．

（Ⅰ）依题意，可得n＝（0，0，1）为平面ABCD的一个法向量，＝，

由此可得，n＝0，又因为直线MN平面ABCD，

所以MN∥平面ABCD．

（Ⅱ）＝（1，－2，2），＝（2，0，0），

设n1＝（x1，y1，z1）为平面ACD1的法向量，则

即

不妨设z1＝1，

可得 n1＝（0，1，1），

设n2＝（x2，y2，z2）为平面ACB1的一个法向量，

则又＝（0，1， 2），得

，不妨设z2＝1，可得n2＝（0，－2，1）．

因此有cos〈n1，n2〉＝＝－，

于是sin〈n1，n2〉＝，

所以二面角D1－AC－B1的正弦值为．

（Ⅲ）依题意，可设，其中λ∈[0，1]，则E（0，λ，2），从而＝（－1，λ＋2，1），又n＝（0，0，1）为平面ABCD的一个法向量，由已知得

cos〈，n〉＝＝＝，整理得λ2＋4λ－3＝0，又因为λ∈[0，1]，解得λ＝－2，

所以线段A1E的长为－2．