Question

（满分14分）已知一动圆M,恒过点F(1,0)，且总与直线相切,
（Ⅰ）求动圆圆心M的轨迹C的方程；
（Ⅱ）在曲线C上是否存在异于原点的两点,当时,直线AB恒过定点?若存在,求出定点坐标;若不存在,说明理由.

Answer 1

(1) ；(2)无论为何值,直线AB过定点(4,0) 。

(1)因为动圆M,过点F且与直线相切, 所以圆心M到F的距离等于到直线的距离.根据抛物线的定义可以确定点M的轨迹是抛物线，易求其方程.
（II）本小题属于存在性命题，先假设存在A,B在上, 直线AB的方程:,即AB的方程为,然后根据,∴AB的方程为,从而可确定其所过定点.
解：(1) 因为动圆M,过点F且与直线相切,
所以圆心M到F的距离等于到直线的距离. …………2分
所以,点M的轨迹是以F为焦点, 为准线的抛物线,且,, ……4分
所以所求的轨迹方程为……………6分
(2) 假设存在A,B在上, …………7分  
∴直线AB的方程:, …………9分
即AB的方程为:, …………10分
即 …………11分
又∵∴AB的方程为，…………12分
令,得，所以,无论为何值,直线AB过定点(4,0) …………14分