Question

6．已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱AA₁=2，求：
（1）求异面直线A₁D与AC所成角的大小；
（2）求四面体A₁-DCA的体积．

Answer 1

分析 （1）由已知中正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁为棱长为2的正方体，结合正方体的几何特征，我们易得∠ACB₁就是异面直线A₁D与AC所成角，△ACB₁中为等边三角形，即可得到异面直线A₁D与AC所成角
（2）根据三棱锥的体积公式进行求解即可．

解答 解：（1）如图，A₁D∥B₁C，
则∠ACB₁就是异面直线A₁D与AC所成角．
在△ACB₁中，AC=AB₁=B₁C，
则∠ACB₁=60°，
因此异面直线A₁D与AC所成角为60°；
（2）四面体A₁-DCA的体积V=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×2×2$=$\frac{4}{3}$．

点评 本题主要考查了直线与平面之间的位置关系，以及几何体的体积和异面直线所成角等有关知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于中档题．