Question

（2013•延庆县一模）A是由定义在[2，4]上且满足如下条件的函数φ（x）组成的集合：
（1）对任意x∈[1，2]，都有φ（2x）∈（1，2）；
（2）存在常数L（0＜L＜1），使得对任意的x₁，x₂∈[1，2]，都有|φ（2x₁）-φ（2x₂）|≤L|x₁-x₂|．
（Ⅰ）设φ（x）=

3

1+x

，x∈[1，2]，证明：φ（x）∈A；
（Ⅱ）设φ（x）∈A，如果存在x₀∈（1，2），使得x₀=φ（2x₀），那么这样的x₀是唯一的．

Answer 1

分析：（I）根据φ（2x）=

3	1+2x

单调增的性质，得x∈[1，2]时1＜

3	3

≤φ（2x）≤

3	5

＜2，从而得到φ（2x）∈（1，2）；再根据分子有理化，整理得|φ（2x₁）-φ（2x₂）|=|x₁-x₂|•

2

3 (1+2x1)2 + 3 (1+2x1)(1+2x1) + 3 (1+2x2)2

，从而令

2

3 (1+2x1)2 + 3 (1+2x1)(1+2x1) + 3 (1+2x2)2

=L，得0＜L＜1满足|φ（2x₁）-φ（2x₂）|≤L|x₁-x₂|．由以上两条可得φ（x）∈A成立；
（II）反证法，假设满足条件的x₀不是唯一的，则存在两个x₀、x0/∈（1，2）且x₀≠x0/，使得x₀=φ（2x₀），x0/=φ（2x0/），根据（I）的结论进行推理得到|x₀-x0/|≤L|x₁-x₂|，所以L≥1与定义0＜L＜1矛盾，从而说明假设不成立，可得满足x₀∈（1，2）且x₀=φ（2x₀）的x₀是唯一的．

解答：解：（Ⅰ）对任意x∈[1，2]，φ（2x）=

3	1+2x

，
∵

3	3

≤φ（2x）≤

3	5

，且1＜

3	3

＜

3	5

＜2，
∴φ（2x）∈（1，2）满足（1）的条件；
对任意的x₁，x₂∈[1，2]，|φ（2x₁）-φ（2x₂）|
=|x₁-x₂|•

2

3 (1+2x1)2 + 3 (1+2x1)(1+2x1) + 3 (1+2x2)2

，
∵3＜

3	(1+2x1)2

+

3	(1+2x1)(1+2x2)

+

3	(1+2x2)2

，
所以0＜

2

3 (1+2x1)2 + 3 (1+2x1)(1+2x1) + 3 (1+2x2)2

＜

2

3

，
令

2

3 (1+2x1)2 + 3 (1+2x1)(1+2x1) + 3 (1+2x2)2

=L，则0＜L＜1，
可得|φ（2x₁）-φ（2x₂）|≤L|x₁-x₂|，满足（2）的条件
所以φ（x）∈A成立．…（8分）
（Ⅱ）反证法：
设存在两个x₀、x0/∈（1，2）且x₀≠x0/，使得x₀=φ（2x₀），x0/=φ（2x0/），则
由（I）的结论，得|φ（2x₀）-φ（2x0/）|≤L|x₁-x₂|，
得|x₀-x0/|≤L|x₁-x₂|，所以L≥1，与定义0＜L＜1矛盾，故假设不成立，
可得不存在两个x₀、x0/∈（1，2）且x₀≠x0/，使得x₀=φ（2x₀），x0/=φ（2x0/），
因此如果存在x₀∈（1，2），使得x₀=φ（2x₀），那么这样的x₀是唯一的．…（13分）

点评：本题给出满足特殊对应法则，要求我们判断φ（x）满足此对应法则，且对满足条件的函数中若x₀=φ（2x₀）的x₀唯一性加以讨论．着重考查了不等式的性质、反证法的证明思想和函数恒成立的讨论等知识，属于中档题．