Question

5．α，β是关于x的方程x²-2（cosθ+1）x+cos²θ=0的两个实根，且|α-β|≤2$\sqrt{2}$，求θ的范围．

Answer 1

分析 根据一元二次方程根与系数的关系，及根的个数与系数的关系，可得$-\frac{1}{2}$≤cosθ≤$\frac{1}{2}$，进而得到θ的范围．

解答 解：∵α，β是关于x的方程x²-2（cosθ+1）x+cos²θ=0的两个实根，
∴△=4（cosθ+1）²-4cos²θ≥0，
即cosθ≥$-\frac{1}{2}$，
又由|α-β|=$\frac{\sqrt{△}}{\left|a\right|}$=2$\sqrt{2cosθ+1}$≤2$\sqrt{2}$，
故cosθ≤$\frac{1}{2}$，
故$-\frac{1}{2}$≤cosθ≤$\frac{1}{2}$，
故θ∈[$\frac{π}{3}$+kπ，$\frac{2π}{3}$+kπ]，（k∈Z）

点评 本题考查的知识点是韦达定理及其推论，三角函数的求值，解三角不等式，难度中档．