Question

已知函数f(x)=sin2x+2

3

sinxcosx+sin(x+

π

4

)sin(x-

π

4

)．
（1）求f（x）的最小正周期和f（x）的值域；
（2）若x=x₀(0≤x0≤

π

2

)为f（x）的一个零点，求f（2x₀）的值．

Answer 1

分析：（1）由已知中函数f(x)=sin2x+2

3

sinxcosx+sin(x+

π

4

)sin(x-

π

4

)，利用降次公式（逆用二倍角余弦公式），二倍角公式，两角和与差的正弦公式（也可利用积化和差公式），及辅助角公式，将函数的解析式化为正弦型函数的形式，进而根据正弦型函数的图象和性质求出f（x）的最小正周期和f（x）的值域；
（2）根据（1）中所得f（x）的解析式，我们根据0≤x0≤

π

2

及正弦型函数的图象和性质，求出2x₀-

π

6

的三角函数值，进而根据倍角公式及两角和与差的三角函数公式，求出f（2x₀）的值．

解答：解：（1）f(x)=sin2x+2

3

sinxcosx+sin(x+

π

4

)sin(x-

π

4

)=

1-cos2x

2

+

3

sin2x+(

2

2

sinx+

2

2

cosx)(

2

2

sinx-

2

2

cosx)=

3

sin2x-cos2x+

1

2

=2sin(2x-

π

6

)+

1

2

．…..（4分）
所以f（x）的最小正周期T=π；…..…．…..（5分）
由-1≤sin(2x-

π

6

)≤1，得f（x）的值域为[-

3

2

，

5

2

]．…..（7分）
（2）f(x)=2sin(2x-

π

6

)+

1

2

，由题设知f（x₀）=0⇒sin(2x0-

π

6

)=-

1

4

，…．（8分）
由0≤x0≤

π

2

⇒-

π

6

≤2x0-

π

6

≤

5π

6

，结合sin(2x0-

π

6

)＜0知-

π

6

≤2x0-

π

6

＜0，
可得cos(2x0-

π

6

)=

15

4

．…..（10分）
sin2x0=sin((2x0-

π

6

)+

π

6

)=sin(2x0-

π

6

)cos

π

6

+cos(2x0-

π

6

)sin

π

6

=-

1

4

×

3

2

+

15

4

×

1

2

=

15 - 3

8

，cos2x0=cos((2x0-

π

6

)+

π

6

)=cos(2x0-

π

6

)cos

π

6

-sin(2x0-

π

6

)sin

π

6

=

15

4

×

3

2

+

1

4

×

1

2

=

3 5 +1

8

，
∴sin(4x0-

π

6

)=sin2x0cos(2x0-

π

6

)+cos2x0sin(2x0-

π

6

)=

15 - 3

8

×

15

4

+

3 5 +1

8

×(-

1

4

)=

7-3 5

16

∴f(2x0)=2sin(4x0-

π

6

)+

1

2

=2×

7-3 5

16

+

1

2

=

11-3 5

8

．

点评：本题考查的知识点是三角函数中的恒等变换应用，三角函数的周期性及其求法，其中根据已知条件结合降次公式（逆用二倍角余弦公式），二倍角公式，两角和与差的正弦公式（也可利用积化和差公式），及辅助角公式，化简函数的解析式为正弦型函数的形式，是解答本题的关键．