Question

已知函数f（x）=ln

kx-1

x+1

（k＞0）为奇函数．
（I）求常数k的值；
（Ⅱ）求证：函数f（x）在（-∞，-1）上是增函数；
（Ⅲ）若函数g（x）=f（x）+2^x+m，且g（x）在区间[3，4]上没有零点，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：奇偶性与单调性的综合,函数零点的判定定理

专题：函数的性质及应用

分析：（1Ⅰ）根据函数奇函数的定义和条件f（-x）+f（x）=0，求出k的值之后，再验证是否满足函数的定义域关于原点对称即可；
（Ⅱ）根据函数的单调性和对数函数的单调性即可证明．
（Ⅲ）利用函数零点和方程之间的关系转化为求函数的最值即可．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=ln

kx-1

x+1

是奇函数，
∴f（-x）=-f（x），
即f（-x）+f（x）=0，
则ln

kx-1

x+1

+ln

-kx-1

-x+1

=ln（

kx-1

x+1

•

-kx-1

-x+1

）=0，
即

kx-1

x+1

•

-kx-1

-x+1

=

k2x2-1

x2-1

=1，
即（kx）²-1=x²-1，
即k²=1，
则k=1或k=-1，
若k=1，则f（x）=ln

x-1

x+1

满足成立，
若k=-1，则f（x）=ln

-x-1

x+1

=ln（-1）不成立，不满足条件，
故k=1．
（Ⅱ）由

x-1

x+1

＞0，
解得x＞1或x＜-1，
即函数f（x）的定义域为{x|x＞1或x＜-1}；
f（x）在区间（1，+∞）上单调递减，下面给出证明．
设x₁＜x₂＜-1
则f（x₁）-f（x₂）=l

x1-1

x1+1

-ln

x2-1

x2+1

=ln

(x1-1)(x2+1)

(x1+1)(x2-1)

，
而（1+x₁）（x₂-1）-（x₁-1）（1+x₂）=2（x₂-x₁）＞0，及（x₁+1）（x₂-1）＞0，
∴0＜

(x1-1)(x2+1)

(x1+1)(x2-1)

＜1，
即ln

(x1-1)(x2+1)

(x1+1)(x2-1)

＜0
∴f（x₁）＜f（x₂）．
函数f（x）在（-∞，-1）上是增函数．
（Ⅲ）g（x）=f（x）+2^x+m=ln

x-1

x+1

+2^x+m，
由g（x）=ln

x-1

x+1

+2^x+m=0，
得-m=ln

x-1

x+1

+2^x，
∵f（x）=ln

x-1

x+1

在（-∞，-1）上是增函数，且为奇函数，
∴f（x）=ln

x-1

x+1

在（1，+∞）上是增函数，
设m（x）=ln

x-1

x+1

+2^x，则函数m（x）在[3，4]上上是增函数，
则m（3）≤m（x）≤m（4），
即8+ln

1

2

≤m（x）≤16+ln

3

5

，
∵g（x）在区间[3，4]上没有零点，
∴-m＞16+ln

3

5

或-m＜8+ln

1

2

，
即m＜-16-ln

3

5

或m＞-8-ln

1

2

．

点评：本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用以及函数和方程的转化，根据函数奇偶性和单调性的定义函数性质是解决本题的关键．