Question

6．设函数f（1+x）=ln（2+x）-ln（-x）．
（Ⅰ）求f（x）及f（x）的定义域A；
（Ⅱ）若a∈A，试判断f（$\frac{2a}{1+{a}^{2}}$）与f（a）的大小．

Answer 1

分析 （Ⅰ）令1+x=t，则x=t-1，换元可得解形式，进而可得定义域；
（Ⅱ）作差比较可得$\frac{2a}{1+{a}^{2}}$＜a，由分类讨论和函数的单调性可得．

解答 解：（Ⅰ）令1+x=t，则x=t-1，
换元可得f（t）=ln（2+t-1）-ln（-t+1）
=ln（1+t）-ln（1-t）=ln$\frac{1+t}{1-t}$，
由对数有意义可得$\left\{\begin{array}{l}{1+t＞0}\\{1-t＞0}\end{array}\right.$，解得-1＜t＜1
∴f（x）的定义域A=（-1，1），f（x）=ln（1+x）-ln（1-x）；
（Ⅱ）∵a∈A，∴-1＜a＜1，
∴$\frac{2a}{1+{a}^{2}}$-a=$\frac{2a-a-{a}^{3}}{1+{a}^{2}}$=$\frac{a-{a}^{3}}{1+{a}^{2}}$=$\frac{a（1-{a}^{2}）}{1+{a}^{2}}$，
∴当-1＜a＜0时，$\frac{a（1-{a}^{2}）}{1+{a}^{2}}$＜0，即$\frac{2a}{1+{a}^{2}}$＜a，
∵函数y=ln（1+x）和y=-ln（1-x）均在A上单调递增，
∴函数f（x）=ln（1+x）-ln（1-x）在A上单调递增，
此时有f（$\frac{2a}{1+{a}^{2}}$）＜f（a）；
∴当0＜a＜1时，$\frac{a（1-{a}^{2}）}{1+{a}^{2}}$＞0，即$\frac{2a}{1+{a}^{2}}$＞a，
此时有f（$\frac{2a}{1+{a}^{2}}$）＞f（a）；
∴当a=0时，$\frac{a（1-{a}^{2}）}{1+{a}^{2}}$=0，即$\frac{2a}{1+{a}^{2}}$=a，
此时有f（$\frac{2a}{1+{a}^{2}}$）=f（a）

点评 本题考查函数解析式的求解，涉及函数的单调性和式子大小比较以及分类讨论的思想，属中档题．