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    已知两定点A(0，-1)，C(0，2)，动点M满足∠MCA=2∠MAC．

    (Ⅰ)求动点M的轨迹Q的方程；

    (Ⅱ)设曲线Q与y轴的交点为B，点E、F是曲线Q上两个不同的动点，且·=0，直线AE与BF交于点P(x0，y0)，求证：为定值．

    解：(Ⅰ)设动点M(x，y)，因为∠MCA=2∠MAC

    所以或

    化简得：y2-=1(y＞1)

    (Ⅱ)由=0可设点E(x1，y1)，F(-x1，y1)则由A、P、E三点共线可得x0 (y1+1)=(y0+1) x1，同理可得：

    x0(y1-1)=-(y0-1) x1，

    两式相乘得：,

    又因为=1，所以．

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    0≤
    OP
    •
    OA
    ≤1
    0≤
    OP
    •
    OB
    ≤2.
    则点P构成的区域的面积是
    2
    2
    ；点Q（x+y，x-y）构成的区域的面积是
    4
    4
    ．

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    (Ⅱ)设曲线Q与y轴的交点为B，点E、F是曲线Q上两个不同的动点，且·＝0，直线AE与BF交于点P(x0，y0)，求证：为定值；

    (Ⅲ)在第(Ⅱ)问的条件下，求证：过点和点E的直线是曲线Q的一条切线．

    (Ⅳ)在第(Ⅱ)问的条件下，试问是否存在点E使得·＝·(或||·|＝||·||)，若存在，求出此时点E的坐标；若不存在，说明理由．

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    (Ⅲ)在第(Ⅱ)问的条件下，求证：过点p′(0，y0)和点E的直线是曲线Q的一条切线.

    (Ⅳ)在第(Ⅱ)问的条件下，试问是否存在点E使得(或)，若存在，求出此时点E的坐标；若不存在，说明理由.

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