Question

17．已知正项数列{a_n}的前n项和为s_n，且a₁=2，a_na_n+1=2（S_n+1）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}满足${b_1}=-\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，${b_n}=\frac{1}{{{a_n}\sqrt{{a_{n-1}}}+{a_{n-1}}\sqrt{a_n}}}（n≥2，且n∈{N^*}）$，求{b_n}的前n项和T_n
（3）数列{c_n}满足lgc₁₌$\frac{1}{3}$，lgc_n=$\frac{{{a_{n-1}}}}{3^n}$（n≥2，且n∈N^*），试问是否存在正整数p，q其中（1＜p＜q），使c₁，c_p，c_q成等比数列？若存在求出满足条件所有的数组（p，q）；若不存在请说明理由．

Answer 1

分析 （1）将n换为n-1，两式相减，可得{a_2n-1}，{a_2n}都是公差为2的等差数列，运用等差数列的通项公式即可得到所求；
（2）求得b_n=$\frac{1}{（n+1）\sqrt{n}+n\sqrt{n+1}}$=$\frac{1}{\sqrt{n}}$-$\frac{1}{\sqrt{n+1}}$，再由数列的求和方法：裂项相消求和，化简即可得到所求和；
（3）假设存在正整数数组（p，q），使c₁，c_p，c_q成等比数列，则lgc₁，lgc_p，lgc_q成等差数列，从而可用p表示出q，观察可知（p，q）=（2，3）满足条件，根据数列单调性可证明（p，q）=（2，3）唯一符合条件．

解答 解：（1）a_na_n+1=2（S_n+1），
当n＞1时，a_n-1a_n=2（S_n-1+1），
两式相减可得a_n（a_n+1-a_n-1）=2a_n，
由a_n＞0，可得a_n+1-a_n-1=2，
即有{a_2n-1}，{a_2n}都是公差为2的等差数列，
由a₁=2，可得a₂=$\frac{2×（1+2）}{2}$=3，
即有a_2n-1=2n，a_2n=2n+1．
即有a_n=n+1；
（2）${b_n}=\frac{1}{{{a_n}\sqrt{{a_{n-1}}}+{a_{n-1}}\sqrt{a_n}}}（n≥2，且n∈{N^*}）$
=$\frac{1}{（n+1）\sqrt{n}+n\sqrt{n+1}}$=$\frac{1}{\sqrt{n}}$-$\frac{1}{\sqrt{n+1}}$，
即有{b_n}的前n项和T_n=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$+$\frac{1}{\sqrt{2}}$-$\frac{1}{\sqrt{3}}$+$\frac{1}{\sqrt{3}}$-$\frac{1}{2}$+…+$\frac{1}{\sqrt{n}}$-$\frac{1}{\sqrt{n+1}}$
=-$\frac{1}{\sqrt{n+1}}$；
（3）数列{c_n}满足lgc₁=$\frac{1}{3}$，lgc_n=$\frac{{{a_{n-1}}}}{3^n}$=$\frac{n}{{3}^{n}}$（n≥2，且n∈N^*），
假设存在正整数数组（p，q），使c₁，c_p，c_q成等比数列，
则lgc₁，lgc_p，lgc_q成等差数列，
于是，$\frac{2p}{{3}^{p}}$=$\frac{1}{3}$+$\frac{q}{{3}^{q}}$，
所以，q=3^q（$\frac{2p}{{3}^{p}}$-$\frac{1}{3}$）（☆）．
易知（p，q）=（2，3）为方程（☆）的一组解．    
当p≥3，且p∈N*时，$\frac{2（p+1）}{{3}^{p+1}}$-$\frac{2p}{{3}^{p}}$=$\frac{2-4p}{{3}^{p+1}}$＜0，
故数列{$\frac{2p}{{3}^{p}}$}（p≥3）为递减数列                                      
于是$\frac{2p}{{3}^{p}}$-$\frac{1}{3}$≤$\frac{2×3}{{3}^{3}}$-$\frac{1}{3}$＜0，
所以此时方程（☆）无正整数解．      
综上，存在唯一正整数数对（p，q）=（2，3），
使b₁，b_p，b_q成等比数列．

点评 本题考查等差、等比数列的综合问题，考查等差数列的通项公式，考查递推公式求数列通项，数列的求和方法：裂项相消求和，存在性问题往往先假设存在，然后以此出发进行推理论证得到结论．