Question

如图，四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB＝60°，AB＝2AD，PD⊥底面ABCD。

(1)证明：PA⊥BD；(2)设PD＝AD，求二面角A－PB－C的余弦值．  

 

Answer 1

【答案】

（1）只需证明BD²＋AD²＝AB²；（2）。

【解析】

试题分析：(1)因为∠DAB＝60°，AB＝2AD，由余弦定理得.

从而BD²＋AD²＝AB²，故BD⊥AD．

又PD⊥底面ABCD，可得BD⊥PD．

所以BD⊥平面PAD．故PA⊥BD．   6分

(2)如图，以D为坐标原点，AD的长为单位长，射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系Dxyz.则A(1，0，0)，B(0，，0)，C(－1，，0)，P(0，0，1)．

＝(－1，，0)，＝(0，，－1)，＝(－1，0，0)．

设平面PAB的法向量为n＝(x，y，z)，则

即

因此可取n＝(，1，)．

设平面PBC的法向量为m，则

可取m＝(0，－1，－)，.

故二面角A­PB­C的余弦值为.           6分

考点：线面垂直的判定定理；线面垂直的性质定理；二面角。

点评：二面角的求法是立体几何中的一个难点。我们解决此类问题常用的方法有两种：①综合法，综合法的一般步骤是：一作二说三求。②向量法，运用向量法求二面角应注意的是计算。很多同学都会应用向量法求二面角，但结果往往求不对，出现的问题就是计算错误。