已知为椭圆:的左、右焦点,过椭圆右焦点F2斜率为()的直线与椭圆相交于两点,的周长为8,且椭圆C与圆相切。
(1)求椭圆的方程;
(2)设为椭圆的右顶点,直线分别交直线于点,线段的中点为,记直线的斜率为,求证为定值.
(1) (2)= 证明详见解析.
解析试题分析:(1)由的周长为8,可得4a=8,又由椭圆C与圆相切,可得b2=3,即可求得椭圆的方程为.
(2)设过点 的直线方程为:,设点,点,将直线方程代入椭圆中,整理可得关于x的一元二次方程,该方程由两个不等的实数根,其判别式恒大于零,求出,的表达式,由点斜式分别写出直线AE,AF的方程,然后求出点M,N的坐标,在求出点P的坐标,由两点的斜率公式求出直线 的斜率,整理即可求得=.
(1)由题意得 3分
所求椭圆C的方程为. 4分
(2)设过点 的直线方程为:,
设点,点 5分
将直线方程代入椭圆
整理得: 6分
因为点在椭圆内,所以直线和椭圆都相交,恒成立,
且 7分
直线的方程为:,直线的方程为:
令,得点,,
所以点的坐标 9分
直线 的斜率为
11分
将代入上式得:
所以为定值
考点: 1.椭圆的方程和性质;2.直线的斜率公式;3.直线与曲线的位置关系.
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
设是椭圆上不关于坐标轴对称的两个点,直线交轴于点(与点不重合),O为坐标原点.
(1)如果点是椭圆的右焦点,线段的中点在y轴上,求直线AB的方程;
(2)设为轴上一点,且,直线与椭圆的另外一个交点为C,证明:点与点关于轴对称.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
在平面直角坐标系xOy中,已知圆C1:(x+3)2+(y-1)2=4和圆C2:(x-4)2+(y-5)2=4.
(1)若直线l过点A(4,0),且被圆C1截得的弦长为2,求直线l的方程;
(2)设P为平面上的点,满足:存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2,它们分别与圆C1和圆C2相交,且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等,试求所有满足条件的点P的坐标.
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
已知双曲线的中心为原点,左、右焦点分别为、,离心率为,点是直线上任意一点,点在双曲线上,且满足.
(1)求实数的值;
(2)证明:直线与直线的斜率之积是定值;
(3)若点的纵坐标为,过点作动直线与双曲线右支交于不同的两点、,在线段上去异于点、的点,满足,证明点恒在一条定直线上.
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