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已知为椭圆的左、右焦点,过椭圆右焦点F2斜率为)的直线与椭圆相交于两点,的周长为8,且椭圆C与圆相切。
(1)求椭圆的方程;
(2)设为椭圆的右顶点,直线分别交直线于点,线段的中点为,记直线的斜率为,求证为定值.

(1) (2)= 证明详见解析.

解析试题分析:(1)由的周长为8,可得4a=8,又由椭圆C与圆相切,可得b2=3,即可求得椭圆的方程为
(2)设过点 的直线方程为:,设点,点,将直线方程代入椭圆中,整理可得关于x的一元二次方程,该方程由两个不等的实数根,其判别式恒大于零,求出的表达式,由点斜式分别写出直线AE,AF的方程,然后求出点M,N的坐标,在求出点P的坐标,由两点的斜率公式求出直线 的斜率,整理即可求得=
(1)由题意得       3分
所求椭圆C的方程为.        4分
(2)设过点 的直线方程为:
设点,点                                                 5分
将直线方程代入椭圆
整理得:                                   6分
因为点在椭圆内,所以直线和椭圆都相交,恒成立,
                                       7分
直线的方程为:,直线的方程为:
,得点
所以点的坐标                                          9分
直线 的斜率为
                   11分
代入上式得:

所以为定值  
考点: 1.椭圆的方程和性质;2.直线的斜率公式;3.直线与曲线的位置关系.

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