Question

14．函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的部分图象如图所示，将y=f（x）的图象向右平移$\frac{π}{4}$个单位长度后得到函数y=g（x）的图象．
（1）求函数y=g（x）的解析式；
（2）在△ABC中，角A，B，C满足2sin²$\frac{A+B}{2}$=g（C+$\frac{π}{3}$）+1，且其外接圆的半径R=2，求△ABC的面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）由图知周期T，利用周期公式可求ω，由f（$\frac{π}{12}$）=1，结合范围|φ|＜$\frac{π}{2}$，可求φ的值，进而利用三角函数图象变换的规律即可得解．
（2）利用三角函数恒等变换的应用及三角形内角和定理化简已知可得cosC=-$\frac{1}{2}$，进而可求C，由正弦定理解得c的值，进而由余弦定理，基本不等式可求ab≤4，利用三角形面积公式即可得解面积的最大值．

解答 （本题满分为12分）
解：（1）由图知$\frac{2π}{ω}$=4（$\frac{π}{12}$+$\frac{π}{6}$），解得ω=2，
∵f（$\frac{π}{12}$）=sin（2×$\frac{π}{12}$+φ）=1，
∴2×$\frac{π}{12}$+φ=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，即φ=2kπ+$\frac{π}{3}$，k∈Z，
由于|φ|＜$\frac{π}{2}$，因此φ=$\frac{π}{3}$，…（3分）
∴f（x）=sin（2x+$\frac{π}{3}$），
∴f（x-$\frac{π}{4}$）=sin[2（x-$\frac{π}{4}$）+$\frac{π}{3}$]=sin（2x-$\frac{π}{6}$），
即函数y=g（x）的解析式为g（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$），…（6分）
（2）∵2sin²$\frac{A+B}{2}$=g（C+$\frac{π}{3}$）+1，
∴1-cos（A+B）=1+sin（2C+$\frac{π}{2}$），
∵cos（A+B）=-cosC，sin（2C+$\frac{π}{2}$）=cos2C，
cosC=cos2C，即cosC=2cos²C-1，
所以cosC=-$\frac{1}{2}$或1（舍），可得：C=$\frac{2π}{3}$，…（8分）
由正弦定理得$\frac{c}{sinC}=2R=4$，解得c=2$\sqrt{3}$，
由余弦定理得cosC=-$\frac{1}{2}$=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$，
∴a²+b²=12-ab≥2ab，ab≤4，（当且仅当a=b等号成立），
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{\sqrt{3}}{4}$ab≤$\sqrt{3}$，
∴△ABC的面积最大值为$\sqrt{3}$．…（12分）

点评 本题主要考查了三角函数周期公式，三角函数图象变换的规律，三角函数恒等变换的应用，三角形内角和定理，正弦定理，余弦定理，基本不等式，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了数形结合思想和转化思想的应用，属于中档题．