【题目】已知的一个顶点为抛物线的顶点, , 两点都在抛物线上,且.
(1)求证:直线必过一定点;
(2)求证: 面积的最小值.
【答案】(1)详见解析(2)当时, 的面积取得最小值为
【解析】试题分析:(1)由于,所以设所在的直线的方程为(),则直线的方程为.分别与抛物线方程组方程组解得A,B点坐标。由AB直线方程可写出定点,要注意直线AB斜率不存在时情况。(2)由(1)知直线AB过定点(2,0),所以可设直线的方程为.与抛物线组方程组。由韦达定理与面积公式,可求得面积最小值。
试题解析:(1)设所在的直线的方程为(),则直线的方程为.
由,解得或,即点的坐标为
同理可求得点的坐标为
∴当,即时,直线的方程为
化简并整理,得
当时,恒有
当,即时,直线的方程为,过点.
故直线过定点.
(2)由于直线过定点,记为点,所以可设直线的方程为.
由,消去并整理得,
∴,
于是
∴当时, 的面积取得最小值为
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【题目】已知椭圆,点是直线上的动点,过点作椭圆的切线,切点为,为坐标原点.
(1)若切线的斜率为1,求点的坐标;
(2)求的面积的最小值,并求出此时的斜率.
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【题目】已知函数f(x)=ax﹣cosx,a≠0.
(1)若函数f(x)为单调函数,求a的取值范围;
(2)若x∈[0,2π],求:当a≥时,函数f(x)仅有一个零点.
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【题目】定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M-数列”.
(1)已知等比数列{an}满足:,求证:数列{an}为“M-数列”;
(2)已知数列{bn}满足:,其中Sn为数列{bn}的前n项和.
①求数列{bn}的通项公式;
②设m为正整数,若存在“M-数列”{cn},对任意正整数k,当k≤m时,都有成立,求m的最大值.
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【题目】甲、乙两队进行防溺水专题知识竞赛,每队3人,首轮比赛每人一道必答题,答对者则为本队得1分,答错或不答得0分,己知甲队每人答对的概率分别为,,,乙队每人答对的概率均为.设每人回答正确与否互不影响,用表示首轮比赛结束后甲队的总得分.
(1)求随机变量的分布列;
(2)求在首轮比赛结束后甲队和乙队得分之和为2的条件下,甲队比乙队得分高的概率.
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