Question

已知f（x）=x³+mx²-x+2（m∈R）．
（1）如果函数f（x）的单调递减区间为（

1

3

，1），求函数f（x）的解析式；
（2）若f（x）的导函数为f′（x），对任意x∈（0，+∞），不等式f′（x）≥2xlnx-1恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）令f′（x）＜0已知函数f（x）的单调递减区间为（

1

3

，1），所以

1

3

和1为3x²+2mx-1=0的解，代入即可求出m得到解析式；（2）对任意x∈（0，+∞），不等式f′（x）≥2xlnx-1恒成立就是要求f′（x）的最小值都大于等于2xlnx-1即可，所以求出f′（x）的最小值即可得到m的范围．

解答：解：令f′（x）＜0得3x²+2mx-1＜0，函数f（x）的单调递减区间为（

1

3

，1），
所以

1

3

和1为3x²+2mx-1=0的解，代入求得m=-1，
则函数f（x）的解析式为f（x）=x³-x²-x+2；
（2）对任意x∈（0，+∞），不等式f′（x）≥2xlnx-1恒成立就是要求f′（x）的最小值都大于等于2xlnx-1
因为f′（x）=3x²+2mx-1，为开口向上的抛物线，有最小值，当x=-

m

3

时，f′（x）的最小值为-

m2

3

-1
所以-

m2

3

-1≥-

2m

3

ln(-

m

3

)-1，解得m≥ln

2

3

-1．

点评：考查学生利用导数研究函数极值的能力，以及不等式恒成立时条件的理解能力．