Question

14．已知曲线C₁的参数方程式$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosφ}\\{y=3sinφ}\end{array}\right.$（φ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C₂的极坐标方程为ρ=2，正方形ABCD的顶点都在C₂上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为（2，$\frac{π}{2}$）．
（1）求点A，B，C，D的直角坐标；
（2）设P为C₁上任意一点，求|PA|²+|PB|²+|PC|²+|PD|²的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据点A、B、C都在以原点为圆心、以2为半径的圆上，x轴的正半轴到0A、OB、OC的角分别为$\frac{π}{2}$、π、$\frac{3π}{2}$、2π．从而求得他们的直角坐标．
（2）设点P（2cosφ，3sinφ），令S=|PA|²+|PB|²+|PC|²+|PD|²，则 S=16cos²φ+36sin²φ+16=20sin²φ+32，再由正弦函数的有界性，求得|PA|²+|PB|²+|PC|²+|PD|²的取值范围．

解答 解：（1）∵曲线C₂的极坐标方程为ρ=2，∴曲线C₂的直角坐标方程为x²+y²=4，
∵正方形ABCD的顶点都在C₂上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，
点A的极坐标为（2，$\frac{π}{2}$），∴A点直角坐标为（0，2），
点B的极坐标为（2，π），∴B点直角坐标为（-2，0），
点C的极坐标为（2，$\frac{3π}{2}$），∴C点直角坐标为（0，-2），
点D的极坐标为（2，2π），∴D点直角坐标为（2，0）．
（2）∵曲线C₁的参数方程式$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosφ}\\{y=3sinφ}\end{array}\right.$（φ为参数），P为C₁上任意一点，
∴P（2cosφ，3sinφ），
令S=|PA|²+|PB|²+|PC|²+|PD|²，
则 S=4cos²φ+（2-3sinφ）²+（-2-2cosφ）²+9sin²φ+4cos²φ+（-2-3sinφ）²+（2-2cosφ）²+9sin²φ
=16cos²φ+36sin²φ+16=20sin²φ+32，
∵0≤sin²φ≤1，∴S的取值范围是：[32，52]．

点评 本题主要考查把参数方程化为普通方程的方法，把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，正弦函数的有界性，属于中档题．