Question

【题目】已知函数f（x）=lnx﹣ax+1（a∈R）．
（1）若函数f（x）的图象在x=1处的切线l垂直于直线y=x，求实数a的值及直线l的方程；
（2）求函数f（x）的单调区间；
（3）若x＞1，求证：lnx＜x﹣1．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）=lnx﹣ax+1（a∈R），定义域为（0，+∞），

∴ ，

∴函数f（x）的图象在x=1处的切线l的斜率k=f′（1）=1﹣a，

∵切线l垂直于直线y=x，

∴1﹣a=﹣1，∴a=2，

∴f（x）=lnx﹣2x+1，f（1）=﹣1，

∴切点为（1，﹣1），

∴切线l的方程为y+1=﹣（x﹣1），

即x+y=0

（2）解：由（1）知： ，x＞0

当a≤0时， ，此时f（x）的单调递增区间是（0，+∞）；

当a＞0时，

若 ，则f′（x）＞0；若 ，则f′（x）＜0，

此时，f（x）的单调递增区间是 ，单调递减区间是 ，

综上所述：

当a≤0时，f（x）的单调递增区间是（0，+∞）；

当a＞0时，f（x）的单调递增区间是 ，单调递减区间是

（3）解：由（2）知：当a=1时，f（x）=lnx﹣x+1在（1，+∞）上单调递减，

∴x＞1时，f（x）＜f（1）=ln1﹣1+1=0，

∴x＞1时，lnx﹣x+1＜0，即lnx＜x﹣1

【解析】（1）求出函数的导数，根据切线的斜率求出a的值，从而求出函数的切点，求出切线方程即可；（2）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（3）由a=1时，f（x）=lnx﹣x+1在（1，+∞）上单调递减，得到f（x）＜f（1），从而证明结论．
【考点精析】掌握利用导数研究函数的单调性是解答本题的根本，需要知道一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减．