Question

在平面上，给定非零向量，对任意向量，定义=-．
（1）若=（2，3），=（-1，3），求；
（2）若=（2，1），证明：若位置向量的终点在直线Ax+By+C=0上，则位置向量的终点也在一条直线上；
（3）已知存在单位向量，当位置向量的终点在抛物线C：x²=y上时，位置向量终点总在抛物线C′：y²=x上，曲线C和C′关于直线l对称，问直线l与向量满足什么关系？

Answer 1

【答案】分析：（1）根据题意，算出=7，=10，代入的表达式并化简整理，即可得到=（，-）；
（2）设=（x'，y'），终点在直线Ax+By+C=0上，由题中的表达式解出=（x，y）满足的关系式，从而得到点
（，）在直线Ax+By+C=0上，化简整理得到直线（3A+4B）x+（4A-3B）y-5C=0，说明向量的终点也在一条直线上；
（3））设=（x，y），单位向量=（cosθ，sinθ），解出关于x、y和θ的坐标形式，结合的终点在抛物线x²=y上且终点在抛物线y²=x上，建立关于x、y和θ的方程，化简整理得到=±（，）．再由曲线C和C′关于直线l：y=x对称，算出l的方向向量满足•=0，从而得到直线l与向量垂直．
解答：解：（1）∵=（2，3），=（-1，3），
∴=7，=10，可得=（-1，3）=（-，）
因此=-=（2，3）-（-，）=（，-）；
（2）设=（x'，y'），终点在直线Ax+By+C=0上
算出=2x'+y'，=5，=（2，1）=（，），
∴=-=（x'，y'）-（，）=（，）
因此，若=（x，y），满足，得到
∵点（，）在直线Ax+By+C=0上
∴A×+B×+C=0，化简得（3A+4B）x+（4A-3B）y-5C=0，
由A、B不全为零，可得以上方程是一条直线的方程
即向量的终点也在一条直线上；
（3）∵是单位向量，
∴设=（x，y），=（cosθ，sinθ），可得•=xcosθ+ysinθ，
所以=-=-2（xcosθ+ysinθ）=（-xcos2θ-ysin2θ，-2xsin2θ+ycos2θ）
∵的终点在抛物线x²=y上，且终点在抛物线y²=x上，
∴-xcos2θ-ysin2θ=（-2xsin2θ+ycos2θ）²，
化简整理，通过比较系数可得cosθ=，sinθ=-或cosθ=-，sinθ=
∴=±（，），
∵曲线C和C′关于直线l：y=x对称，
∴l的方向向量=（1，1）．
可得•=0，即⊥，因此直线l与向量垂直．
点评：本题给出向量的关系式，求证当向量终点在一条直线上时，向量的终点也在一条直线上等问题．着重考查了向量的数量积运算、向量的坐标运算和曲线与方程的讨论等知识，属于中档题．