【题目】若对任意的正整数,总存在正整数,使得数列的前项和,则称是“回归数列”.
()①前项和为的数列是否是“回归数列”?并请说明理由.②通项公式为的数列是否是“回归数列”?并请说明理由;
()设是等差数列,首项,公差,若是“回归数列”,求的值.
()是否对任意的等差数列,总存在两个“回归数列”和,使得成立,请给出你的结论,并说明理由.
【答案】()见解析;();()见解析.
【解析】试题分析: 利用当时, ,当时, 即可得到,再利用“回归数列”的意义即可得出;②, , 为偶数,即可证明数列是“回归数列”
利用等差数列的前项和即可得到,对任意,存在,使,取时和根据即可得出结论
设等差数列的公差为,构造数列, ,可证明和是等差数列。再利用等差数列的前项和公式及其通项公式,“回归数列”,即可得出;
解析:()①当时, ,
当时, ,
当时, ,
∴数列是“回归数列”.
②,前项和,
∵为偶数,
∴存在,
即,使,
∴数列是“回归数列”.
(),
对任意,存在,使,
即,
取时,得,解得,
∵,
∴,
又,
∴,
∴.
()设等差数列的公差为,令,
对, ,
令,则对, ,
则,且数列和是等差数列,
数列的前项和,
令,则,
当时, ;
当时, .
当时, 与的奇偶性不同,
故为非负偶数,
∴,
∴对,都可找到,使成立,
即为“回归数列”.
数列的前项和,
∴,
则,
∵对, 为非负偶数,
∴,
∴对,都可找到,使得成立,
即为“回归数列”,
故命题得证.
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【题目】在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),将曲线上各点的横坐标都缩短为原来的倍,纵坐标坐标都伸长为原来的倍,得到曲线,在极坐标系(与直角坐标系取相同的单位长度,且以原点为极点,以轴非负半轴为极轴)中,直线的极坐标方程为.
(1)求直线和曲线的直角坐标方程;
(2)设点是曲线上的一个动点,求它到直线的距离的最大值.
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【题目】已知函数为偶函数,且函数的图象的两相邻对称轴间的距离为.
(1)求的值;
(2)将函数的图象向右平移个单位长度后,再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍,纵坐标不变,得到函数的图象,求函数的单调递减区间.
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【题目】如图是1,2两组各7名同学体重(单位:kg)数据的茎叶图.设1,2两组数据的平均数依次为1和2,标准差依次为s1和s2,那么( )
(注:标准差,其中为x1,x2,…,xn的平均数)
A.1>2,s1>s2
B.1>2,s1<s2
C.1<2,s1<s2
D.1<2,s1>s2
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【题目】已知圆O:,直线l:.
若直线l与圆O交于不同的两点A、B,当为锐角时,求k的取值范围;
若,P是直线l上的动点,过P作圆O的两条切线PC、PD,切点为C、D,则直线CD是否过定点?若是,求出定点,并说明理由.
若EF、GH为圆O的两条相互垂直的弦,垂足为,求四边形EGFH的面积的最大值.
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【题目】事件一:假设某地区有高中生2400人,初中生10900人,小学生11000人.为了了解该地区学生的视力健康状况,从中抽取的学生进行调查.事件二:某校为了了解高一年级学生对教师教学的满意率,打算从高一年级500名学生中抽取50名进行调查.对于事件一和事件二,恰当的抽样方法分别是( )
A. 系统抽样,分层抽样
B. 系统抽样,简单随机抽样
C. 简单随机抽样,系统抽样
D. 分层抽样,系统抽样
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【题目】设等比数列a1,a2,a3,a4的公比为q,等差数列b1,b2,b3,b4的公差为d,且.记(i1,2,3,4).
(1)求证:数列不是等差数列;
(2)设, .若数列是等比数列,求b2关于d的函数关系式及其定义域;
(3)数列能否为等比数列?并说明理由.
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【题目】某音乐院校举行“校园之星”评选活动,评委由本校全体学生组成,对两位选手,随机调查了20个学生的评分,得到下面的茎叶图:
所得分数 | 低于60分 | 60分到79分 | 不低于80分 |
分流方向 | 淘汰出局 | 复赛待选 | 直接晋级 |
(1)通过茎叶图比较两位选手所得分数的平均值及分散程度(不要求计算出具体值,得出结论即可);
(2)举办方将会根据评分结果对选手进行三向分流,根据所得分数,估计两位选手中哪位选手直接晋级的概率更大,并说明理由.
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