Question

【题目】如图（1）所示，在中，是边上的高，且，，是的中点．现沿进行翻折，使得平面平面，得到的图形如图（2）所示．

（1）求证：；

（2）求直线与平面所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）

【解析】

（1）由题意，先根据面面垂直的性质定理，得到平面，再由线面垂直的性质，即可得出；

（2）以为原点，，，所在的直线分别为，，轴建立空间坐标系，设，求出直线的方向向量，以及平面的一个法向量，由向量夹角公式，以及线面角与向量夹角的关系，即可得出结果.

（1）由图（1）知，在图（2）中，，，

∵平面平面，平面平面，平面，

∴平面，又平面，

∴；

（2）以为原点，，，所在的直线分别为，，轴建立如图所示的空间坐标系，

不妨设，则，，，，

∴，，，

设平面的法向量，则，即，

令，得，，则是平面的一个法向量，

设直线与平面所成的角是，

则，

故直线与平面所成角的正弦值为．