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    4．已知曲线C：xy=1，过C上一点An（xn，yn）作一斜率为kn=-$\frac{1}{{x}_{n}+2}$的直线交曲线C于另一点An+1（xn+1，yn+1），点列{An}的横坐标构成数列{xn}，其中x1=$\frac{11}{7}$
    （Ⅰ）求xn与xn+1的关系式；
    （Ⅱ）令bn=$\frac{1}{{x}_{n}-2}$+$\frac{1}{3}$，求证：数列{bn}是等比数列，并写出通项公式；
    （Ⅲ）若cn=3n-λbn（λ为非零正数，n∈N*），试确定λ的值，使得对任意n∈N*，都有cn+1＞cn成立．

    分析 （Ⅰ）求得过直线An（xn，yn）的直线方程并与xy=1联立，消去y整理即可求得xn与xn+1的关系式；
    （Ⅱ）将bn=$\frac{1}{{x}_{n}-2}$+$\frac{1}{3}$代入$\frac{{b}_{n+1}}{{b}_{n}}$，求得$\frac{{b}_{n+1}}{{b}_{n}}$=-2，然后再求出b1，数列{bn}是以-2为首项，-2为公比等比数列，并求得通项公式；
    （Ⅲ）根据关系式cn=3n-λbn，得到数列{cn}的通项公式．然后得到cn+1-cn，再分别根据n奇偶性进行讨论，综合可得λ的取值范围．

    解答 解：（Ⅰ）过An（xn，yn）的直线方程为y-yn=-$\frac{1}{{x}_{n}+2}$（x-xn），
    联立方程$\left\{\begin{array}{l}{y-{y}_{n}=-\frac{1}{{x}_{n}+2}（x-{x}_{n}）}\\{xy=1}\end{array}\right.$；
    消y得：$\frac{1}{{x}_{n}+2}{x}^{2}-（{y}_{n}+\frac{{x}_{n}}{{x}_{n}+1}）+1=0$，
    所以：xnxn+1=xn+2，即xn+1=$\frac{{x}_{n}+2}{{x}_{n}}$；
    （Ⅱ）证明：$\frac{{b}_{n+1}}{{b}_{n}}$=$\frac{\frac{1}{{x}_{n+1}-2}+\frac{1}{3}}{\frac{1}{{x}_{n}-2}+\frac{1}{3}}$=$\frac{\frac{{x}_{n}}{2-{x}_{n}}+\frac{1}{3}}{\frac{1}{{x}_{n}-2}+\frac{1}{3}}$=$\frac{\frac{3{x}_{n}+2-{x}_{n}}{3（2-{x}_{n}）}}{\frac{3+{x}_{n}-2}{3（{x}_{n}-2）}}$=-2，
    ∴{bn}是等比数列，首项b1=$\frac{1}{{x}_{1}-2}+\frac{1}{3}$=-2，
    ∴数列{bn}是以-2为首项，-2为公比等比数列，
    ∴数列{bn}通项公式bn=（-2）n；
    （Ⅲ）由（Ⅱ）可知：bn=（-2）n，要使cn+1-cn成恒成立，
    则cn+1-cn=[3n+1-λ（-2）n+1]-[3n-λbn]恒成立．
    ①当n为奇数时，即λ＜（$\frac{3}{2}$）n-1恒成立．
    因为n=1时（$\frac{3}{2}$）n-1取最小值1，
    ∴λ＜1．
    ②当n为偶数时，λ＞-（$\frac{3}{2}$）n-1恒成立．
    因为当n=2时-（$\frac{3}{2}$）n-1取最大值-$\frac{3}{2}$，
    ∴λ＞-$\frac{3}{2}$，
    综上，得：-$\frac{3}{2}$＜λ＜1，
    ∴λ=-1，
    所以λ=-1时，使得对任意n∈N*，都有cn+1＞cn成立

    点评 本题考查数列与不等式综合应用，考查等比数列证明及通项公式，考查分类讨论思想的应用，属于中档题．

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